Как можно найти значение f(2), если для функции y = f(x) выполняется условие f'(x)*x^4 + f(x)*4x^3 = 12x^5 + 5x^4 и при этом f(1) = 3?

Математика 9 класс Дифференциальные уравнения значение f(2) функция y = f(x) производная f'(x) условие f'(x)*x^4 f(x)*4x^3 = 12x^5 f(1) = 3 решение уравнения математика 9 класс Новый

Для нахождения значения f(2) нам необходимо решить данное дифференциальное уравнение:

Шаг 1: Упростим уравнение.

Исходное уравнение:

f'(x) * x^4 + f(x) * 4x^3 = 12x^5 + 5x^4.

Мы можем выделить f'(x) и f(x) в этом уравнении. Для этого перенесем все, что связано с f(x) в одну сторону:

f'(x) * x^4 = 12x^5 + 5x^4 - f(x) * 4x^3.

Шаг 2: Разделим на x^4 (при x ≠ 0).

Получим:

f'(x) = (12x + 5/x - 4f(x)/x).

Шаг 3: Попробуем найти f(x).

Это уравнение является линейным и может быть решено методом интегрирования. Мы можем переписать его в стандартной форме:

f'(x) + (4/x)f(x) = 12x + 5/x.

Шаг 4: Найдем интегрирующий множитель.

Интегрирующий множитель m(x) равен exp(∫(4/x)dx) = x^4.

Шаг 5: Умножим уравнение на интегрирующий множитель.

Получим:

x^4 f'(x) + 4x^3 f(x) = 12x^5 + 5x^4.

Шаг 6: Запишем левую часть как производную.

Теперь левая часть уравнения представляет собой производную:

(x^4 f(x))' = 12x^5 + 5x^4.

Шаг 7: Интегрируем обе стороны.

Интегрируем:

x^4 f(x) = ∫(12x^5 + 5x^4)dx = 2x^6 + x^5 + C.

Шаг 8: Найдем f(x).

Теперь, чтобы найти f(x), делим обе стороны на x^4:

f(x) = (2x^6 + x^5 + C)/x^4 = 2x^2 + x + C/x^4.

Шаг 9: Используем начальное условие для нахождения C.

У нас есть условие f(1) = 3:

3 = 2(1)^2 + (1) + C/(1)^4.

3 = 2 + 1 + C.

Таким образом, C = 0.

Шаг 10: Запишем окончательную функцию.

Теперь мы можем записать функцию:

f(x) = 2x^2 + x.

Шаг 11: Найдем f(2).

Подставим x = 2:

f(2) = 2(2)^2 + 2 = 2(4) + 2 = 8 + 2 = 10.

Ответ: Значение f(2) равно 10.