Как решить уравнение: y'' - 7y' + 12y = e^(2x)?

Математика 9 класс Дифференциальные уравнения уравнение решение уравнения Дифференциальные уравнения математика 9 класс y'' - 7y' + 12y e^(2x) Новый

Для решения уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, такого как y'' - 7y' + 12y = e^(2x), мы будем использовать метод вариации постоянных. Это уравнение состоит из однородной и неоднородной частей. Давайте разберем решение по шагам.

Шаг 1: Решение однородного уравнения

Сначала найдем общее решение однородного уравнения:

y'' - 7y' + 12y = 0

Для этого запишем характеристическое уравнение:

r^2 - 7r + 12 = 0

Решим его с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4*1*12 = 49 - 48 = 1.

Корни характеристического уравнения:

• r1 = (7 + √D) / 2 = (7 + 1) / 2 = 4,
• r2 = (7 - √D) / 2 = (7 - 1) / 2 = 3.

Таким образом, общее решение однородного уравнения будет:

y_h = C1 * e^(4x) + C2 * e^(3x),

где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Шаг 2: Решение неоднородного уравнения

Теперь найдем частное решение y_p для неоднородного уравнения y'' - 7y' + 12y = e^(2x). Поскольку правой частью уравнения является e^(2x), попробуем взять частное решение в виде:

y_p = A * e^(2x),

где A - это константа, которую нужно определить.

Теперь найдем производные:

• y_p' = 2A * e^(2x),
• y_p'' = 4A * e^(2x).

Подставим y_p и его производные в исходное уравнение:

4A * e^(2x) - 7(2A * e^(2x)) + 12(A * e^(2x)) = e^(2x).

Соберем все члены:

(4A - 14A + 12A)e^(2x) = e^(2x).

Это упрощается до:

2A * e^(2x) = e^(2x).

Теперь приравняем коэффициенты:

2A = 1,

откуда A = 1/2.

Таким образом, частное решение будет:

y_p = (1/2) * e^(2x).

Шаг 3: Общее решение уравнения

Теперь, когда мы нашли общее решение однородного уравнения и частное решение неоднородного уравнения, можем записать полное решение:

y = y_h + y_p = C1 * e^(4x) + C2 * e^(3x) + (1/2) * e^(2x).

Таким образом, общее решение уравнения y'' - 7y' + 12y = e^(2x) имеет вид:

y = C1 * e^(4x) + C2 * e^(3x) + (1/2) * e^(2x).