Как найти решение дифференциального уравнения: х у'=у?

Математика 9 класс Дифференциальные уравнения решение дифференциального уравнения математика 9 класс х у'=у задачи по математике Дифференциальные уравнения Новый

Чтобы решить данное дифференциальное уравнение х у' = у, мы можем воспользоваться методом разделения переменных. Давайте подробно рассмотрим шаги решения.

1. Перепишем уравнение: Начнем с того, что у нас есть уравнение в виде х у' = у. Мы можем выразить у' (производную функции у по х) как у' = у/х.
2. Разделим переменные: Мы можем записать уравнение в виде:
   • у' = у/х
   • или, что эквивалентно, у'/у = 1/х.
3. Интегрируем обе стороны: Теперь мы можем интегрировать обе стороны уравнения. Сначала интегрируем левую сторону:
   • ∫(1/у) du = ∫(1/х) dx.
4. Решим интегралы: Интегрирование дает:
   • ln|у| = ln|х| + C, где C - постоянная интегрирования.
5. Применим экспоненту: Теперь мы можем избавиться от логарифмов, применив экспоненту к обеим сторонам:
   • |у| = e^(ln|х| + C) = |х| * e^C.
6. Обозначим e^C как K: Мы можем обозначить e^C как новую константу K (K > 0):
   • у = K|х|.
7. Запишем общее решение: Таким образом, общее решение нашего дифференциального уравнения можно записать как:
   • у = Kх, где K - произвольная константа.

Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения. Если у вас есть дополнительные вопросы по этой теме, не стесняйтесь спрашивать!