Как можно определить общее решение дифференциального уравнения y'' + y = 0?

Математика 9 класс Дифференциальные уравнения общее решение Дифференциальное уравнение y'' + y = 0 математика 9 класс методы решения уравнений Новый

Чтобы найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка y'' + y = 0, мы можем использовать метод характеристического уравнения. Давайте рассмотрим шаги этого процесса:

1. Запишем уравнение в стандартной форме:

   У нас есть уравнение y'' + y = 0. Здесь y'' обозначает вторую производную функции y по переменной x.

2. Составим характеристическое уравнение:

   Мы предполагаем, что решение имеет вид y = e^(rx), где r - некоторая константа. Подставим это предположение в уравнение:

   y'' = r^2 * e^(rx), тогда уравнение примет вид:

   r^2 * e^(rx) + e^(rx) = 0.

   Выносим e^(rx) за скобки:

   e^(rx) * (r^2 + 1) = 0.

   Поскольку e^(rx) никогда не равен нулю, то мы можем решить уравнение:

3. Решаем характеристическое уравнение:

   r^2 + 1 = 0.

   Это уравнение имеет корни:

   • r = i (где i - мнимая единица)
   • r = -i
4. Записываем общее решение:

   Корни характеристического уравнения являются комплексными. В этом случае общее решение будет иметь вид:

   y(x) = C1 * cos(x) + C2 * sin(x),

   где C1 и C2 - произвольные константы, которые определяются начальными условиями.

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения y'' + y = 0 можно записать как:

y(x) = C1 * cos(x) + C2 * sin(x)