Как решить уравнение y'tgx - y = 1, если при x = π/2 значение y равно 1?

Математика 9 класс Дифференциальные уравнения уравнение решение уравнения математика 9 класс y'tgx значение y x = π/2 математические задачи Новый

Для решения уравнения y'tgx - y = 1, начнем с его анализа. Здесь y' обозначает производную функции y по переменной x, а tgx - это тангенс x.

Мы имеем дифференциальное уравнение первого порядка:

y' * tg(x) - y = 1

Сначала мы можем переписать уравнение в более удобной форме:

y' * tg(x) = y + 1

Теперь разделим обе стороны на tg(x):

y' = (y + 1) / tg(x)

Это уравнение можно решить методом разделения переменных. Перепишем его так:

dy / (y + 1) = dx / tg(x)

Теперь мы можем интегрировать обе стороны:

• Левая сторона: ∫ dy / (y + 1) = ln|y + 1| + C1
• Правая сторона: ∫ dx / tg(x) = ∫ cot(x) dx = ln|sin(x)| + C2

Таким образом, после интегрирования мы получаем:

ln|y + 1| = ln|sin(x)| + C

где C = C2 - C1, это произвольная константа.

Теперь избавимся от логарифмов, возведя обе стороны в степень:

|y + 1| = e^(ln|sin(x)| + C) = |sin(x)| * e^C

Обозначим K = e^C (где K - положительная константа), тогда:

y + 1 = K * sin(x)

Теперь выразим y:

y = K * sin(x) - 1

Теперь нам нужно найти значение K, используя условие, что при x = π/2, y = 1:

1 = K * sin(π/2) - 1

Поскольку sin(π/2) = 1, у нас получается:

1 = K - 1

Отсюда следует:

K = 2

Теперь подставим значение K обратно в выражение для y:

y = 2 * sin(x) - 1

Таким образом, общее решение данного уравнения:

y = 2 * sin(x) - 1