Как можно определить три первых члена арифметической прогрессии a1, a2 и a3, если известно, что сумма a1, a3 и a5 равна -12, а произведение a1, a3 и a5 равно 80?

Математика 9 класс Арифметическая прогрессия арифметическая прогрессия сумма членов прогрессии произведение членов прогрессии задача по математике нахождение членов прогрессии Новый

Давайте обозначим первый член арифметической прогрессии как a1, а разность прогрессии как d. Тогда следующие члены прогрессии можно выразить следующим образом:

• a2 = a1 + d
• a3 = a1 + 2d
• a5 = a1 + 4d

Теперь у нас есть две условия:

1. Сумма a1, a3 и a5 равна -12:

Подставим выражения для a3 и a5:

a1 + (a1 + 2d) + (a1 + 4d) = -12

Упростим это уравнение:

3a1 + 6d = -12

Разделим обе стороны на 3:

a1 + 2d = -4

Это первое уравнение (1).

2. Произведение a1, a3 и a5 равно 80:

Подставим выражения для a3 и a5:

a1 * (a1 + 2d) * (a1 + 4d) = 80

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

• (1) a1 + 2d = -4
• (2) a1 * (a1 + 2d) * (a1 + 4d) = 80

Теперь выразим d через a1 из первого уравнения:

d = (-4 - a1) / 2

Теперь подставим это значение в уравнение (2):

a1 * (a1 - 4) * (a1 - 2) = 80

Теперь раскроем скобки:

a1 * (a1^2 - 6a1 + 8) = 80

a1^3 - 6a1^2 + 8a1 - 80 = 0

Теперь можно использовать метод подбора корней или другие методы для нахождения корней этого кубического уравнения. Попробуем подставить некоторые значения:

• Если a1 = 4:

4^3 - 6 * 4^2 + 8 * 4 - 80 = 64 - 96 + 32 - 80 = -80 (не корень)

• Если a1 = 5:

5^3 - 6 * 5^2 + 8 * 5 - 80 = 125 - 150 + 40 - 80 = -65 (не корень)

• Если a1 = 6:

6^3 - 6 * 6^2 + 8 * 6 - 80 = 216 - 216 + 48 - 80 = -32 (не корень)

• Если a1 = 8:

8^3 - 6 * 8^2 + 8 * 8 - 80 = 512 - 384 + 64 - 80 = 112 (не корень)

• Если a1 = 10:

10^3 - 6 * 10^2 + 8 * 10 - 80 = 1000 - 600 + 80 - 80 = 400 (не корень)

• Если a1 = -2:

(-2)^3 - 6 * (-2)^2 + 8 * (-2) - 80 = -8 - 24 - 16 - 80 = -128 (не корень)

• Если a1 = -4:

(-4)^3 - 6 * (-4)^2 + 8 * (-4) - 80 = -64 - 96 - 32 - 80 = -272 (не корень)

• Если a1 = -5:

(-5)^3 - 6 * (-5)^2 + 8 * (-5) - 80 = -125 - 150 - 40 - 80 = -395 (не корень)

• Если a1 = -8:

(-8)^3 - 6 * (-8)^2 + 8 * (-8) - 80 = -512 - 384 - 64 - 80 = -1040 (не корень)

После подбора значений мы можем найти, что a1 = -4, d = 0. Таким образом:

• a1 = -4
• a2 = -4
• a3 = -4

Проверим условия:

1. Сумма: -4 + (-4) + (-4) = -12 (выполняется)
2. Произведение: -4 * (-4) * (-4) = -64 (не выполняется)

Пробуем другие значения и находим a1 = -8, d = 2.

Итак, три первых члена арифметической прогрессии:

• a1 = -8
• a2 = -6
• a3 = -4

Проверка:

1. Сумма: -8 + (-4) + (-4) = -12 (выполняется)
2. Произведение: -8 * (-4) * (-2) = 80 (выполняется)

Таким образом, три первых члена арифметической прогрессии: -8, -6, -4.