Как можно разложить на множители следующие примеры?

1. а² (b + c) + b² (a + c) + c² (a + b) + 2abc.
2. Покажите, что если а = b + 1, тогда (a + b) (a² + b²) (a² + b² )...(a64 + b64) = a128 - b128.
3. Покажите, что если а + b + c = 0, тогда а³ + b³ + c³ = 3abc.
4. Разложите на множители bc (b + c) + ас (c − a) – ab (a + b).
5. Покажите, что выражение 973 – 413 делится на 28 без остатка.
6. Покажите, что выражение 576 – 436 делится на 1400 без остатка.
7. Разложите на множители х² (y + z) + y² (x + z) + z²(x + y) + 3xyz.
8. Разложите на множители а³ + b³ + c² + ab (a + b) + ac (a + c) + bc (b + c).

Математика 9 класс Разложение на множители разложение на множители примеры разложения математические примеры алгебраические выражения свойства многочленов делимость выражений задачи по математике факторы многочленов Новый

Давайте разберем каждый из примеров по порядку и подробно объясним, как разложить на множители.

1. a² (b + c) + b² (a + c) + c² (a + b) + 2abc

Для начала заметим, что данное выражение можно сгруппировать:

• Сгруппируем по парам: (a²b + a²c) + (b²a + b²c) + (c²a + c²b) + 2abc.
• Теперь выделим общий множитель в каждой группе:
• a²(b + c) + b²(a + c) + c²(a + b) + 2abc.
• Теперь заметим, что можно использовать формулу для суммы кубов:
• (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - ac - bc).

Таким образом, итоговое разложение: (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - ac - bc).

2. (a + b)(a² + b²)...(a64 + b64) = a128 - b128, если a = b + 1

Доказательство:

• Рассмотрим выражение (a + b)(a² + b²)...(a^64 + b^64).
• Подставим a = b + 1.
• Тогда a^n + b^n = ((b + 1)^n + b^n).
• Используя формулу бинома, можно показать, что это будет равно (b^n + (b + 1)^n).
• Таким образом, после всех преобразований, мы можем получить a^128 - b^128.

3. Если a + b + c = 0, то a³ + b³ + c³ = 3abc

Доказательство:

• Используем формулу для суммы кубов:
• a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - ac - bc).
• Поскольку a + b + c = 0, то выражение становится равным нулю:
• a³ + b³ + c³ = 3abc.

4. bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a + b)

Давайте разложим это выражение:

• Соберем все слагаемые:
• bc(b + c) + ac(c - a) - ab(a + b).
• Теперь выделим общий множитель:
• bc(b + c) + ac(c - a) - ab(a + b) = (b + c)(bc) + (c - a)(ac) - (a + b)(ab).
• Итак, итоговое разложение: (b - a)(c - a)(b + c).

5. 973 - 413 делится на 28 без остатка

Давайте сначала найдем разность:

• 973 - 413 = 560.

Теперь проверим делимость на 28:

• 560 / 28 = 20 (целое число), следовательно, делится без остатка.

6. 576 - 436 делится на 1400 без остатка

Сначала найдем разность:

• 576 - 436 = 140.

Теперь проверим делимость на 1400:

• 140 / 1400 = 0.1 (не целое число), следовательно, не делится без остатка.

7. x² (y + z) + y² (x + z) + z²(x + y) + 3xyz

Для разложения:

• Сгруппируем по аналогии с первым примером:
• (x²y + x²z) + (y²x + y²z) + (z²x + z²y) + 3xyz.
• Выделим общий множитель:
• (x + y + z)(x² + y² + z² - xy - xz - yz).

8. a³ + b³ + c² + ab(a + b) + ac(a + c) + bc(b + c)

Давайте разложим:

• Соберем все слагаемые:
• a³ + b³ + c² + ab(a + b) + ac(a + c) + bc(b + c).
• Используем формулу для суммы кубов:
• (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - ac - bc) + c².
• Таким образом, итоговое разложение: (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - ac - bc) + c².

Таким образом, мы рассмотрели все примеры и подробно объяснили шаги решения. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!