Давайте разберем, как решить уравнения с модулем по шагам. Мы начнем с каждого уравнения по отдельности.

Это уравнение не содержит модуля, поэтому мы просто решим его:

1. Добавим 5 к обеим сторонам: x = 8 + 5
2. Получим: x = 13

Модуль не может быть отрицательным, поэтому данное уравнение не имеет решений.

Решаем это уравнение по шагам:

1. Сначала разберем внутренний модуль: |x² - x| - 1 = 1 или |x² - x| - 1 = -1.
2. Первый случай: |x² - x| = 2. Это дает два подслучая: x² - x = 2 и x² - x = -2.
3. Второй случай: |x² - x| = 0. Это дает уравнение x² - x = 1.

Решаем каждое из полученных уравнений отдельно.

Сначала упростим:

1. Разделим обе стороны на 2: |3x + x| = 3. Это дает два случая: 3x + x = 3 и 3x + x = -3.

Здесь |5 - 2| = 3, поэтому уравнение становится: |x + 1| + 3 = 2.

1. Отсюда: |x + 1| = -1, что невозможно, значит, уравнение не имеет решений.

Сначала заметим, что левая часть всегда меньше или равна нулю, а правая часть всегда больше или равна нулю. Поэтому уравнение не имеет решений.

Решаем по случаям:

1. Если x ≥ 0, то |2x| = 2x: x² + 2x = 9.
2. Если x < 0, то |2x| = -2x: x² - 2x = 9.

Разделим на два случая:

1. Если x ≥ 4, то |x - 4| = x - 4.
2. Если x < 4, то |x - 4| = 4 - x.

Упростим: x² - 15x + 3 = 0. Это квадратное уравнение, решаем по формуле.

Левая часть всегда неотрицательна, поэтому уравнение не имеет решений.

Сначала упростим: (x + 1)² - 2x + 1 = x² + 2x + 1 - 2x + 1 = x² + 2. Теперь у нас: 2x + 1 + |x² + 2| = 0.

Поскольку |x² + 2| всегда положительно, уравнение не имеет решений.

Теперь вы знаете, как решать уравнения с модулем. Важно разбивать их на случаи и учитывать, что модуль не может быть отрицательным.