Как можно решить уравнение 1 - cos(x) = 2 * sin(x/2)?

Математика 9 класс Уравнения тригонометрические уравнение 1 - cos(x) решение тригонометрических уравнений sin(x/2) Новый

Чтобы решить уравнение 1 - cos(x) = 2 * sin(x/2), начнем с преобразования обеих сторон уравнения.

Мы знаем, что существует тригонометрическая идентичность, которая связывает косинус и синус:

• cos(x) = 1 - 2 * sin^2(x/2)

Подставим это выражение в наше уравнение:

1 - (1 - 2 * sin^2(x/2)) = 2 * sin(x/2)

Упростим левую часть уравнения:

• 1 - 1 + 2 * sin^2(x/2) = 2 * sin(x/2)
• 2 * sin^2(x/2) = 2 * sin(x/2)

Теперь можно разделить обе стороны уравнения на 2 (при условии, что sin(x/2) не равен 0):

sin^2(x/2) = sin(x/2)

Теперь мы можем перенести все в одну сторону:

sin^2(x/2) - sin(x/2) = 0

Выносим общий множитель:

sin(x/2) * (sin(x/2) - 1) = 0

Теперь у нас есть два возможных случая:

1. sin(x/2) = 0
2. sin(x/2) - 1 = 0 или sin(x/2) = 1

Решим первый случай:

• sin(x/2) = 0
• x/2 = n * π, где n - целое число
• x = 2n * π

Теперь решим второй случай:

• sin(x/2) = 1
• x/2 = π/2 + 2kπ, где k - целое число
• x = π + 4kπ

Таким образом, обобщенное решение уравнения:

x = 2n * π и x = π + 4kπ, где n и k - целые числа.

Это и есть все возможные решения данного уравнения.