Как решить уравнение: cos(2x) - 3sin(x) = 2?

Математика 9 класс Уравнения тригонометрические решение уравнения математика 9 класс cos(2X) sin(x) тригонометрические уравнения Новый

Чтобы решить уравнение cos(2x) - 3sin(x) = 2, давайте разберем его по шагам.

Шаг 1: Используем тригонометрическую идентичность

Мы знаем, что cos(2x) можно выразить через sin(x) с помощью тригонометрической идентичности:

• cos(2x) = 1 - 2sin²(x)

Подставим это в наше уравнение:

1 - 2sin²(x) - 3sin(x) = 2

Шаг 2: Переносим все элементы в одну сторону

Теперь упрощаем уравнение:

-2sin²(x) - 3sin(x) + 1 - 2 = 0

Это упростится до:

-2sin²(x) - 3sin(x) - 1 = 0

Умножим всё уравнение на -1 для удобства:

2sin²(x) + 3sin(x) + 1 = 0

Шаг 3: Решаем квадратное уравнение

Теперь у нас есть квадратное уравнение вида:

2y² + 3y + 1 = 0

где y = sin(x). Мы можем использовать формулу для решения квадратного уравнения:

y = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

• a = 2
• b = 3
• c = 1

Шаг 4: Находим дискриминант

Сначала найдем дискриминант:

D = b² - 4ac = 3² - 4 * 2 * 1 = 9 - 8 = 1

Шаг 5: Находим корни

Теперь подставим дискриминант в формулу:

y = (-3 ± √1) / (2 * 2)

y = (-3 ± 1) / 4

Это дает нам два корня:

• y₁ = (-3 + 1) / 4 = -2 / 4 = -0.5
• y₂ = (-3 - 1) / 4 = -4 / 4 = -1

Шаг 6: Находим значения x

Теперь нам нужно найти x для sin(x) = -0.5 и sin(x) = -1.

• Для sin(x) = -0.5:
• Решения: x = 7π/6 + 2kπ и x = 11π/6 + 2kπ, где k - любое целое число.
• Для sin(x) = -1:
• Решение: x = 3π/2 + 2kπ, где k - любое целое число.

Шаг 7: Записываем общий ответ

Итак, общее решение уравнения:

• x = 7π/6 + 2kπ
• x = 11π/6 + 2kπ
• x = 3π/2 + 2kπ

Где k - любое целое число. Это и есть все решения нашего уравнения.