Помогите решить уравнение: cos 2x = 1 + 4cos x

Математика 9 класс Уравнения тригонометрические уравнение математика 9 класс cos 2x решение уравнения Тригонометрия алгебра задачи по математике cos x Новый

Давайте решим уравнение cos(2x) = 1 + 4cos(x) шаг за шагом.

Шаг 1: Используем формулу двойного угла.

Сначала вспомним, что cos(2x) можно выразить через cos(x) с помощью формулы:

• cos(2x) = 2cos²(x) - 1.

Теперь подставим это в наше уравнение:

2cos²(x) - 1 = 1 + 4cos(x).

Шаг 2: Приведем уравнение к стандартному виду.

Переносим все члены в одну сторону уравнения:

2cos²(x) - 1 - 1 - 4cos(x) = 0.

Упрощаем:

2cos²(x) - 4cos(x) - 2 = 0.

Шаг 3: Упростим уравнение.

Делим все члены на 2:

cos²(x) - 2cos(x) - 1 = 0.

Шаг 4: Решаем квадратное уравнение.

Теперь мы можем использовать формулу для решения квадратного уравнения:

• ax² + bx + c = 0, где a = 1, b = -2, c = -1.

Находим дискриминант:

D = b² - 4ac = (-2)² - 4*1*(-1) = 4 + 4 = 8.

Шаг 5: Находим корни уравнения.

Теперь находим корни с помощью формулы:

• x₁ = (-b + √D) / (2a) = (2 + √8) / 2 = 1 + √2.
• x₂ = (-b - √D) / (2a) = (2 - √8) / 2 = 1 - √2.

Шаг 6: Подставляем значение cos(x).

Теперь мы имеем два значения:

• cos(x) = 1 + √2,
• cos(x) = 1 - √2.

Однако, значение cos(x) не может превышать 1, поэтому мы отбрасываем корень cos(x) = 1 + √2.

Теперь рассматриваем корень cos(x) = 1 - √2.

Значение 1 - √2 примерно равно -0.414, что допустимо.

Шаг 7: Находим x.

Теперь найдем углы x, для которых cos(x) = 1 - √2. Это происходит в следующих quadrants:

• x = arccos(1 - √2) + 2kπ, где k - любое целое число (первый квадрант);
• x = -arccos(1 - √2) + 2kπ (четвертый квадрант).

Шаг 8: Записываем общее решение.

Таким образом, общее решение уравнения будет:

x = arccos(1 - √2) + 2kπ и x = -arccos(1 - √2) + 2kπ, где k - любое целое число.

Это все шаги решения уравнения cos(2x) = 1 + 4cos(x). Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!