Как можно упростить выражение tg(π/4 + a) × ctg(π/4 - a)?

Математика 9 класс Тригонометрические функции Упрощение выражения математика 9 класс tg ctg формулы тригонометрические функции задачи по тригонометрии Новый

Чтобы упростить выражение tg(π/4 + a) × ctg(π/4 - a), мы воспользуемся тригонометрическими формулами и свойствами тангенса и котангенса.

Во-первых, вспомним, что:

• tg(α + β) = (tg(α) + tg(β)) / (1 - tg(α)tg(β)) - формула сложения тангенса.
• ctg(α) = 1/tg(α) - определение котангенса.

Теперь применим эти формулы к нашему выражению:

1. Найдем tg(π/4 + a):

• tg(π/4) = 1, так как тангенс 45 градусов равен 1.
• Следовательно, tg(π/4 + a) = (1 + tg(a)) / (1 - 1*tg(a)) = (1 + tg(a)) / (1 - tg(a)).

2. Теперь найдем ctg(π/4 - a):

• tg(π/4 - a) = (1 - tg(a)) / (1 + tg(a)), так как tg(π/4) = 1.
• Следовательно, ctg(π/4 - a) = 1/tg(π/4 - a) = (1 + tg(a)) / (1 - tg(a)).

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:

tg(π/4 + a) × ctg(π/4 - a) = ((1 + tg(a)) / (1 - tg(a))) × ((1 + tg(a)) / (1 - tg(a))).

Это можно упростить:

• tg(π/4 + a) × ctg(π/4 - a) = (1 + tg(a))^2 / (1 - tg(a))^2.

Таким образом, окончательно упрощенное выражение будет:

(1 + tg(a))^2 / (1 - tg(a))^2

Это и есть окончательный ответ. Если у вас есть вопросы по шагам, не стесняйтесь задавать их!