Как можно вычислить производную функции 2e^x/(x²+3)?

Математика 9 класс Производные функций производная функции вычисление производной 2e^x/(x²+3) математика 9 класс правила дифференцирования Новый

Чтобы вычислить производную функции f(x) = (2e^x) / (x² + 3), мы будем использовать правило дифференцирования дроби, которое называется правилом частного. Это правило гласит, что если у нас есть функция в виде дроби f(x) = g(x) / h(x), то производная этой функции вычисляется по формуле:

f'(x) = (g'(x) * h(x) - g(x) * h'(x)) / (h(x))²

Где:

• g(x) = 2e^x
• h(x) = x² + 3

Теперь найдем производные g'(x) и h'(x):

1. g'(x) = 2e^x (производная экспоненты e^x равна e^x, и мы умножаем её на 2)
2. h'(x) = 2x (производная x² равна 2x, а производная константы 3 равна 0)

Теперь подставим найденные производные в формулу для производной дроби:

f'(x) = (g'(x) * h(x) - g(x) * h'(x)) / (h(x))²

Подставляем значения:

f'(x) = (2e^x * (x² + 3) - (2e^x) * (2x)) / (x² + 3)²

Теперь упростим числитель:

f'(x) = (2e^x * (x² + 3) - 4xe^x) / (x² + 3)²

Объединим термины в числителе:

f'(x) = (2e^x * (x² + 3 - 2x)) / (x² + 3)²

Теперь мы можем записать окончательный ответ:

f'(x) = (2e^x * (x² - 2x + 3)) / (x² + 3)²

Таким образом, мы нашли производную функции f(x).