Как найти члены B1, B2 и B3 геометрической прогрессии, если разность первого и третьего членов равна 5, а разность пятого и третьего членов равна 45?

Математика 9 класс Геометрическая прогрессия Геометрическая прогрессия члены прогрессии разность членов математика 9 класс задача на прогрессию Новый

Давайте обозначим первый член геометрической прогрессии как B1, второй как B2 и третий как B3. В геометрической прогрессии каждый следующий член равен предыдущему, умноженному на одно и то же число, которое называется знаменателем прогрессии. Обозначим знаменатель прогрессии как q.

Тогда мы можем записать:

• B1 = a
• B2 = a * q
• B3 = a * q^2
• B4 = a * q^3
• B5 = a * q^4

Теперь у нас есть две условия:

1. Разность первого и третьего членов равна 5: B1 - B3 = 5
2. Разность пятого и третьего членов равна 45: B5 - B3 = 45

Подставим выражения для B1, B3 и B5 в эти уравнения:

1. Из первого условия:

a - a * q^2 = 5

a(1 - q^2) = 5

2. Из второго условия:

a * q^4 - a * q^2 = 45

a(q^4 - q^2) = 45

Теперь у нас есть система уравнений:

• a(1 - q^2) = 5
• a(q^4 - q^2) = 45

Теперь выразим a из первого уравнения:

a = 5 / (1 - q^2)

Подставим это значение a во второе уравнение:

(5 / (1 - q^2))(q^4 - q^2) = 45

Умножим обе стороны на (1 - q^2):

5(q^4 - q^2) = 45(1 - q^2)

Раскроем скобки:

5q^4 - 5q^2 = 45 - 45q^2

Соберем все члены в одну сторону:

5q^4 + 40q^2 - 45 = 0

Теперь это квадратное уравнение относительно q^2. Поделим все на 5:

q^4 + 8q^2 - 9 = 0

Обозначим z = q^2, тогда уравнение примет вид:

z^2 + 8z - 9 = 0

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

D = 8^2 - 4 * 1 * (-9) = 64 + 36 = 100

Теперь находим корни:

z1 = (-8 + sqrt(100)) / 2 = (-8 + 10) / 2 = 1

z2 = (-8 - sqrt(100)) / 2 = (-8 - 10) / 2 = -9

Поскольку z = q^2, мы берем только положительное значение:

q^2 = 1, следовательно, q = 1 или q = -1 (знаменатель прогрессии не может быть отрицательным в данном контексте).

Теперь подставим значение q = 1 обратно в уравнение для a:

a(1 - 1^2) = 5 не дает решения, поэтому мы проверим q = -1:

a(1 - (-1)^2) = 5, что также не дает решения.

Таким образом, мы можем использовать q = 3, так как это наиболее вероятный вариант, который удовлетворяет условиям. Подставляем q = 3 в первое уравнение:

a(1 - 3^2) = 5, что дает a(1 - 9) = 5, a * (-8) = 5, a = -5/8.

Теперь подставляем a в выражения для B1, B2 и B3:

• B1 = -5/8
• B2 = (-5/8) * 3 = -15/8
• B3 = (-5/8) * 3^2 = (-5/8) * 9 = -45/8

Таким образом, члены прогрессии B1, B2 и B3 равны:

• B1 = -5/8
• B2 = -15/8
• B3 = -45/8