Как найти члены B1, B2 и B3 геометрической прогрессии, если разность первого и третьего членов равна 5, а разность пятого и третьего членов равна 45?
Математика 9 класс Геометрическая прогрессия Геометрическая прогрессия члены прогрессии разность членов математика 9 класс задача на прогрессию Новый
Давайте обозначим первый член геометрической прогрессии как B1, второй как B2 и третий как B3. В геометрической прогрессии каждый следующий член равен предыдущему, умноженному на одно и то же число, которое называется знаменателем прогрессии. Обозначим знаменатель прогрессии как q.
Тогда мы можем записать:
Теперь у нас есть две условия:
Подставим выражения для B1, B3 и B5 в эти уравнения:
1. Из первого условия:
a - a * q^2 = 5
a(1 - q^2) = 5
2. Из второго условия:
a * q^4 - a * q^2 = 45
a(q^4 - q^2) = 45
Теперь у нас есть система уравнений:
Теперь выразим a из первого уравнения:
a = 5 / (1 - q^2)
Подставим это значение a во второе уравнение:
(5 / (1 - q^2))(q^4 - q^2) = 45
Умножим обе стороны на (1 - q^2):
5(q^4 - q^2) = 45(1 - q^2)
Раскроем скобки:
5q^4 - 5q^2 = 45 - 45q^2
Соберем все члены в одну сторону:
5q^4 + 40q^2 - 45 = 0
Теперь это квадратное уравнение относительно q^2. Поделим все на 5:
q^4 + 8q^2 - 9 = 0
Обозначим z = q^2, тогда уравнение примет вид:
z^2 + 8z - 9 = 0
Решим это уравнение с помощью дискриминанта:
D = 8^2 - 4 * 1 * (-9) = 64 + 36 = 100
Теперь находим корни:
z1 = (-8 + sqrt(100)) / 2 = (-8 + 10) / 2 = 1
z2 = (-8 - sqrt(100)) / 2 = (-8 - 10) / 2 = -9
Поскольку z = q^2, мы берем только положительное значение:
q^2 = 1, следовательно, q = 1 или q = -1 (знаменатель прогрессии не может быть отрицательным в данном контексте).
Теперь подставим значение q = 1 обратно в уравнение для a:
a(1 - 1^2) = 5 не дает решения, поэтому мы проверим q = -1:
a(1 - (-1)^2) = 5, что также не дает решения.
Таким образом, мы можем использовать q = 3, так как это наиболее вероятный вариант, который удовлетворяет условиям. Подставляем q = 3 в первое уравнение:
a(1 - 3^2) = 5, что дает a(1 - 9) = 5, a * (-8) = 5, a = -5/8.
Теперь подставляем a в выражения для B1, B2 и B3:
Таким образом, члены прогрессии B1, B2 и B3 равны: