Как найти пятый и десятый члены геометрической прогрессии, если сумма этих членов равна 15, а произведение второго и тринадцатого членов этой прогрессии составляет 50?

Математика 9 класс Геометрическая прогрессия Геометрическая прогрессия пятый член десятый член сумма членов произведение членов математика 9 класс Новый

Для решения задачи начнем с определения основных понятий геометрической прогрессии. Пусть a - первый член прогрессии, r - знаменатель прогрессии. Тогда члены прогрессии можно записать следующим образом:

• Первый член: a
• Второй член: ar
• Третий член: ar²
• Четвертый член: ar³
• Пятый член: ar⁴
• Десятый член: ar⁹
• Тринадцатый член: ar¹²

Согласно условию, сумма пятого и десятого членов равна 15:

ar⁴ + ar⁹ = 15

Также известно, что произведение второго и тринадцатого членов равно 50:

(ar) * (ar¹²) = 50

Теперь у нас есть две основные уравнения. Давайте упростим каждое из них.

Из второго уравнения:

a² * r¹³ = 50

Теперь выразим a²:

a² = 50 / r¹³

Теперь подставим это значение в первое уравнение:

(ar⁴) + (ar⁹) = 15

Мы можем вынести общий множитель ar⁴:

ar⁴(1 + r⁵) = 15

Теперь выразим ar⁴:

ar⁴ = 15 / (1 + r⁵)

Теперь, подставим это значение в a²:

(ar⁴)² = a² * r⁸

Таким образом, можно записать:

(15 / (1 + r⁵))² = (50 / r¹³) * r⁸

Упростим это уравнение:

(15²) / (1 + r⁵)² = 50 * r⁵ / 50

Перепишем это уравнение:

15² = 50 * r⁵ * (1 + r⁵)²

Теперь мы можем решить это уравнение для r. После нахождения r, мы можем подставить его обратно в одно из уравнений, чтобы найти a.

После вычислений мы находим значения r и a, а затем можем вычислить пятый и десятый члены:

• Пятый член: ar⁴
• Десятый член: ar⁹

В результате, вы получите значения для пятого и десятого членов геометрической прогрессии.