Как найти все значения a, при каждом из которых наибольшее значение выражения (x-a) (6-x) положительно?

Математика 9 класс Квадратные функции значения a наибольшее значение выражения (x-a)(6-x) положительно математика неравенства решение неравенств анализ выражений Новый

Чтобы найти все значения a, при каждом из которых наибольшее значение выражения (x-a)(6-x) положительно, давайте разберем это выражение шаг за шагом.

1. **Рассмотрим выражение (x-a)(6-x)**

Это произведение двух линейных функций. Мы можем определить его как функцию от x:

f(x) = (x - a)(6 - x)

2. **Найдем наибольшее значение функции f(x)**

Для того чтобы найти наибольшее значение, давайте сначала раскроем скобки:

f(x) = x(6 - x) - a(6 - x) = 6x - x^2 - 6a + ax

Теперь упростим это:

f(x) = -x^2 + (6 + a)x - 6a

3. **Определим, где функция f(x) достигает максимума**

Поскольку это квадратная функция, она будет иметь максимальное значение в вершине параболы. Вершина параболы находится по формуле x_vertex = -b/(2a), где b - коэффициент перед x.

В нашем случае:

• a = -1 (коэффициент перед x^2)
• b = (6 + a)

Следовательно, x_vertex = -(6 + a)/(-2) = (6 + a)/2.

4. **Подставим x_vertex в f(x)**

Теперь подставим это значение x в f(x), чтобы найти максимальное значение:

f((6 + a)/2) = ((6 + a)/2 - a)(6 - (6 + a)/2)

Упростим это:

f((6 + a)/2) = ((6 - a)/2)(6 - (6 + a)/2) = ((6 - a)/2)(6 - 3 - a/2) = ((6 - a)/2)(3 - a/2)

Теперь умножим:

f((6 + a)/2) = (6 - a)(3 - a/2)/4

5. **Определим условия для положительности**

Чтобы наибольшее значение f(x) было положительным, необходимо, чтобы:

(6 - a)(3 - a/2) > 0

6. **Решим неравенство**

Теперь найдем, при каких значениях a это неравенство выполняется. Рассмотрим два множителя:

• 6 - a > 0 → a < 6
• 3 - a/2 > 0 → a < 6

Теперь рассмотрим, когда оба множителя имеют одинаковый знак:

• 1) Оба положительны: a < 6
• 2) Оба отрицательны: a > 6 и a > 6 (это не возможно)

Таким образом, наибольшее значение выражения (x-a)(6-x) будет положительным при условии:

a < 6

7. **Результат**

Ответ: все значения a, при которых наибольшее значение выражения (x-a)(6-x) положительно, находятся в интервале:

a < 6