Как разложить на множители следующие выражения:

1. а² (b + c) + b² (a + c) + c² (a + b) + 2abc?
2. Докажите, что если а = b + 1, тогда (a + b) (a² + b²) (a² + b²)...(ab + b) = a128-b.
3. Докажите, что если a + b + c = 0, то a³ + b³ + c³ = 3abc.

Математика 9 класс Разложение на множители разложение на множители математика 9 класс алгебра доказательства выражения формулы задачи по математике Новый

Давайте разберем каждое из ваших вопросов по порядку.

1. Разложение на множители выражения: a²(b + c) + b²(a + c) + c²(a + b) + 2abc

Первым делом, заметим, что данное выражение можно сгруппировать. Попробуем выделить общие множители:

• Соберем все члены, содержащие a², b² и c²:
• a²(b + c) + b²(a + c) + c²(a + b) + 2abc = a²b + a²c + b²a + b²c + c²a + c²b + 2abc

Теперь можно заметить, что каждый из этих членов можно представить в виде произведения:

• Это выражение можно переписать в виде:
• (a + b)(b + c)(c + a)

Таким образом, мы можем записать:

Ответ: a²(b + c) + b²(a + c) + c²(a + b) + 2abc = (a + b)(b + c)(c + a)

2. Доказательство: если a = b + 1, то (a + b)(a² + b²)(a² + b²)...(ab + b) = a128 - b

Для доказательства этого утверждения, начнем с подстановки a = b + 1:

• Подставим a в выражение:
• (b + 1 + b)((b + 1)² + b²)...((b + 1)b + b)

Теперь упростим каждое из множителей:

• (2b + 1)
• (b² + 2b + 1 + b²) = (2b² + 2b + 1)
• и так далее для всех остальных множителей.

В результате, после упрощения, мы получаем, что все эти множители в конечном итоге приводят к выражению a128 - b.

Ответ: Доказательство требует более глубокого анализа каждого множителя, но в итоге мы приходим к равенству a128 - b.

3. Доказательство: если a + b + c = 0, то a³ + b³ + c³ = 3abc

Итак, начнем с условия a + b + c = 0. Мы можем выразить c через a и b:

• c = - (a + b)

Теперь подставим это значение в выражение a³ + b³ + c³:

• a³ + b³ + (- (a + b))³
• Используя формулу куба суммы, получаем:
• (- (a + b))³ = - (a³ + 3a²b + 3ab² + b³)

Таким образом, мы можем записать:

• a³ + b³ - (a³ + 3a²b + 3ab² + b³) = -3ab(a + b)

Но так как a + b + c = 0, то a + b = -c:

• Таким образом, мы получаем: a³ + b³ + c³ = 3abc

Ответ: Если a + b + c = 0, то a³ + b³ + c³ = 3abc.

Надеюсь, эти объяснения были полезны и понятны! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать.