Чтобы разложить на множители выражение x^3 + 5x^2 - 6x - 30, мы можем воспользоваться методом группировки и поиска корней. Давайте разберем это шаг за шагом.

1. Найдем корни: Сначала попробуем найти целые корни данного кубического уравнения. Для этого можно использовать теорему о рациональных корнях. Проверим, подойдут ли значения +1, -1, +2, -2, +3, -3 и т.д.
2. Проверим корень x = -2:
   • Подставим x = -2 в уравнение:
   • (-2)^3 + 5(-2)^2 - 6(-2) - 30 = -8 + 20 + 12 - 30 = -6 (не корень)
3. Проверим корень x = -3:
   • Подставим x = -3 в уравнение:
   • (-3)^3 + 5(-3)^2 - 6(-3) - 30 = -27 + 45 + 18 - 30 = 6 (не корень)
4. Проверим корень x = 2:
   • Подставим x = 2 в уравнение:
   • (2)^3 + 5(2)^2 - 6(2) - 30 = 8 + 20 - 12 - 30 = -14 (не корень)
5. Проверим корень x = -5:
   • Подставим x = -5 в уравнение:
   • (-5)^3 + 5(-5)^2 - 6(-5) - 30 = -125 + 125 + 30 - 30 = 0 (это корень!)

Теперь, когда мы нашли корень x = -5, мы можем воспользоваться делением многочлена для нахождения оставшегося множителя.

1. Разделим многочлен x^3 + 5x^2 - 6x - 30 на (x + 5):
   • При делении получим: x^2 + 0x - 6.
2. Теперь разложим x^2 - 6:
   • Это выражение можно разложить как (x - √6)(x + √6).

Таким образом, окончательное разложение на множители будет выглядеть следующим образом:

Или в виде окончательного ответа:

Итак, мы разложили исходное выражение на множители!