Чтобы решить неравенство x² - 11x + 30 ≤ 0, следуем следующим шагам:

1. Найдем корни квадратного уравнения: Для начала, преобразуем неравенство в уравнение, приравняв его к нулю: x² - 11x + 30 = 0. Мы можем решить это уравнение с помощью дискриминанта.
2. Вычислим дискриминант: Дискриминант D = b² - 4ac, где a = 1, b = -11, c = 30.
   • D = (-11)² - 4 * 1 * 30 = 121 - 120 = 1.
3. Найдем корни: Корни уравнения находятся по формуле: x1,2 = (-b ± √D) / 2a.
   • x1 = (11 + √1) / 2 = (11 + 1) / 2 = 12 / 2 = 6.
   • x2 = (11 - √1) / 2 = (11 - 1) / 2 = 10 / 2 = 5.
4. Запишем корни: Мы получили корни x1 = 6 и x2 = 5.
5. Определим знаки выражения: Теперь мы должны определить, на каком промежутке неравенство x² - 11x + 30 ≤ 0 выполняется. Для этого рассмотрим промежутки, разделенные корнями:
   • (-∞, 5),(5, 6),(6, +∞).
6. Выберем тестовые точки: Проверим знак выражения на каждом из промежутков:
   • Для x < 5, например, x = 0: 0² - 11*0 + 30 = 30 > 0.
   • Для 5 < x < 6, например, x = 5.5: (5.5)² - 11*5.5 + 30 = 30.25 - 60.5 + 30 = -0.25 < 0.
   • Для x > 6, например, x = 7: 7² - 11*7 + 30 = 49 - 77 + 30 = 2 > 0.
7. Составим ответ: Таким образом, неравенство x² - 11x + 30 ≤ 0 выполняется на промежутке [5, 6], включая сами корни, так как неравенство включает знак ≤.

Ответ: x ∈ [5, 6].