Для решения неравенства x² + 14x < -24, сначала мы можем привести его к стандартному виду, переместив все члены на одну сторону. Для этого добавим 24 к обеим сторонам неравенства:

x² + 14x + 24 < 0

Теперь у нас есть квадратное неравенство. Следующим шагом будет нахождение корней соответствующего квадратного уравнения:

x² + 14x + 24 = 0

Для нахождения корней квадратного уравнения мы можем использовать дискриминант. Дискриминант (D) рассчитывается по формуле:

D = b² - 4ac

В нашем случае:

• a = 1 (коэффициент при x²)
• b = 14 (коэффициент при x)
• c = 24 (свободный член)

Теперь подставим значения в формулу для дискриминанта:

D = 14² - 4 * 1 * 24

D = 196 - 96 = 100

Так как дискриминант положителен (D > 0),это означает, что уравнение имеет два различных корня. Найдем их с помощью формулы:

x₁,₂ = (-b ± √D) / (2a)

Подставляем значения:

x₁ = (-14 + √100) / (2 * 1) = (-14 + 10) / 2 = -4 / 2 = -2

x₂ = (-14 - √100) / (2 * 1) = (-14 - 10) / 2 = -24 / 2 = -12

Таким образом, корни уравнения x² + 14x + 24 = 0:

• x₁ = -2
• x₂ = -12

Теперь мы можем использовать эти корни, чтобы определить интервалы, в которых неравенство x² + 14x + 24 < 0 выполняется. Корни разбивают числовую прямую на три интервала:

• (-∞, -12)
• (-12, -2)
• (-2, +∞)

Теперь проверим знак функции в каждом из этих интервалов. Для этого выберем по одному тестовому значению из каждого интервала:

1. Для интервала (-∞, -12): возьмем, например, x = -13.
2. Подставим в неравенство: (-13)² + 14*(-13) + 24 = 169 - 182 + 24 = 11 (положительное).
3. Для интервала (-12, -2): возьмем, например, x = -10.
4. Подставим в неравенство: (-10)² + 14*(-10) + 24 = 100 - 140 + 24 = -16 (отрицательное).
5. Для интервала (-2, +∞): возьмем, например, x = 0.
6. Подставим в неравенство: (0)² + 14*(0) + 24 = 0 + 0 + 24 = 24 (положительное).

Теперь мы можем заключить, что неравенство x² + 14x + 24 < 0 выполняется только в интервале (-12, -2).

Таким образом, окончательный ответ на неравенство x² + 14x < -24:

x ∈ (-12, -2)