Как решить уравнение: 4sinx - 4sqrt3cosx + sin2x - sqrt3cos2x = sqrt3 и найти все корни в промежутке [-пи; 3пи/5]?

Математика 9 класс Уравнения тригонометрические уравнение решение уравнения корни уравнения тригонометрические функции промежуток математика 9 класс синус косинус алгебраические методы Новый

Для решения уравнения 4sin(x) - 4sqrt(3)cos(x) + sin(2x) - sqrt(3)cos(2x) = sqrt(3), начнем с упрощения выражения.

Сначала вспомним, что sin(2x) = 2sin(x)cos(x) и cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x). Подставим эти формулы в уравнение:

• sin(2x) = 2sin(x)cos(x)
• cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)

Теперь перепишем уравнение:

4sin(x) - 4sqrt(3)cos(x) + 2sin(x)cos(x) - sqrt(3)(cos^2(x) - sin^2(x)) = sqrt(3)

Соберем все члены на одной стороне уравнения:

4sin(x) - 4sqrt(3)cos(x) + 2sin(x)cos(x) - sqrt(3)cos^2(x) + sqrt(3)sin^2(x) - sqrt(3) = 0

Теперь упростим это уравнение. Объединим подобные члены:

(4 + sqrt(3))sin(x) + (2cos(x) - 4sqrt(3))cos(x) - sqrt(3) = 0

Теперь у нас есть уравнение, которое можно решить. Давайте выразим sin(x) через cos(x) или наоборот. Перепишем уравнение в более удобной форме:

sin(x) = (sqrt(3) - (2cos(x) - 4sqrt(3))cos(x)) / (4 + sqrt(3))

Теперь мы можем воспользоваться тригонометрическими функциями для нахождения корней. Однако, чтобы избежать сложных вычислений, давайте попробуем решить уравнение численно или графически.

Следующий шаг - это найти корни в заданном промежутке [-π; 3π/5]. Для этого можно воспользоваться графическим методом или численным методом, например, методом деления пополам.

Рассмотрим значения функции на границах промежутка:

• f(-π) = 4sin(-π) - 4sqrt(3)cos(-π) + sin(-2π) - sqrt(3)cos(-2π) - sqrt(3)
• f(3π/5) = 4sin(3π/5) - 4sqrt(3)cos(3π/5) + sin(6π/5) - sqrt(3)cos(6π/5) - sqrt(3)

Подсчитав значения, можно найти, где функция меняет знак, что укажет на наличие корня. После нахождения корней, можно использовать обратные тригонометрические функции для получения всех возможных решений.

Кроме того, не забудьте проверить, попадают ли найденные корни в заданный промежуток [-π; 3π/5].

Таким образом, мы находим все корни уравнения в заданном промежутке.