Как решить уравнение y = |x^2 - 2|x| - 8|?

Математика 9 класс Уравнения с модулями решение уравнения математика 9 класс уравнение с модулем график функции анализ функции Новый

Чтобы решить уравнение y = |x^2 - 2|x| - 8|, давайте разберем его по шагам.

Шаг 1: Разберем внутреннее выражение |x|.

Поскольку |x| - это модуль x, он имеет два случая:

• Если x >= 0, то |x| = x.
• Если x < 0, то |x| = -x.

Таким образом, у нас будет два случая для уравнения:

Случай 1: x >= 0

В этом случае |x| = x, и уравнение становится:

y = |x^2 - 2x - 8|.

Теперь нам нужно решить, когда выражение внутри модуля равно нулю:

x^2 - 2x - 8 = 0.

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4*1*(-8) = 4 + 32 = 36.
• Корни уравнения: x1 = (2 + √36) / 2 = 5 и x2 = (2 - √36) / 2 = -3.

Поскольку мы рассматриваем случай x >= 0, то x1 = 5 подходит, а x2 = -3 - нет.

Теперь определим знаки выражения x^2 - 2x - 8 на интервалах:

• Для x < -3: выражение положительное.
• Для -3 < x < 5: выражение отрицательное.
• Для x > 5: выражение положительное.

Таким образом, у нас есть:

• Для x < -3: y = x^2 - 2x - 8.
• Для -3 < x < 5: y = -(x^2 - 2x - 8) = -x^2 + 2x + 8.
• Для x > 5: y = x^2 - 2x - 8.

Случай 2: x < 0

В этом случае |x| = -x, и уравнение становится:

y = |x^2 + 2x - 8|.

Решим уравнение x^2 + 2x - 8 = 0.

Дискриминант D = 2^2 - 4*1*(-8) = 4 + 32 = 36.

Корни: x1 = (-2 + √36) / 2 = 5 и x2 = (-2 - √36) / 2 = -5.

Поскольку мы рассматриваем случай x < 0, то x2 = -5 подходит, а x1 = 5 - нет.

Определим знаки выражения x^2 + 2x - 8 на интервалах:

• Для x < -5: выражение положительное.
• Для -5 < x < 0: выражение отрицательное.
• Для x > 0: выражение положительное.

Таким образом, у нас есть:

• Для x < -5: y = x^2 + 2x - 8.
• Для -5 < x < 0: y = -(x^2 + 2x - 8) = -x^2 - 2x + 8.

Шаг 2: Объединение результатов.

Теперь мы имеем три функции для разных интервалов:

• x < -5: y = x^2 + 2x - 8.
• -5 < x < -3: y = -x^2 - 2x + 8.
• -3 < x < 5: y = -x^2 + 2x + 8.
• x > 5: y = x^2 - 2x - 8.

Шаг 3: Найти значения y для каждого интервала.

Теперь вы можете подставить значения x в каждую из этих функций, чтобы найти соответствующие значения y. Например:

• Для x = -6: y = (-6)^2 + 2*(-6) - 8 = 36 - 12 - 8 = 16.
• Для x = -4: y = -(-4)^2 - 2*(-4) + 8 = -16 + 8 + 8 = 0.
• Для x = 0: y = -0^2 + 2*0 + 8 = 8.
• Для x = 6: y = 6^2 - 2*6 - 8 = 36 - 12 - 8 = 16.

Таким образом, у нас есть полное решение уравнения y = |x^2 - 2|x| - 8| для разных интервалов x.