СРОЧНО!!! Как решить уравнение: |x-1| + |x-3| = 2?

Математика 9 класс Уравнения с модулями уравнение решение уравнения модуль математика 9 класс алгебра система уравнений график функции Новый

Чтобы решить уравнение |x-1| + |x-3| = 2, нам нужно рассмотреть различные случаи, так как абсолютные значения зависят от значений переменной x. Мы будем рассматривать три случая, в зависимости от того, где находятся точки x = 1 и x = 3.

1. Случай 1: x < 1

В этом случае оба выражения под абсолютными значениями будут отрицательными, и мы можем убрать абсолютные значения, изменив знак:

• |x-1| = -(x-1) = -x + 1
• |x-3| = -(x-3) = -x + 3

Подставим в уравнение:

-x + 1 - x + 3 = 2

Упростим:

-2x + 4 = 2

Теперь решим уравнение:

-2x = 2 - 4 -2x = -2 x = 1

Поскольку x = 1 не попадает в этот случай, мы его не учитываем.

2. Случай 2: 1 ≤ x < 3

В этом случае |x-1| = x - 1 и |x-3| = -(x-3) = -x + 3. Подставим в уравнение:

(x - 1) + (-x + 3) = 2

Упростим:

x - 1 - x + 3 = 2 2 = 2

Это уравнение верно для всех x в диапазоне [1, 3]. То есть, все значения x от 1 до 3 включительно являются решениями.

3. Случай 3: x ≥ 3

В этом случае оба выражения под абсолютными значениями будут положительными:

• |x-1| = x - 1
• |x-3| = x - 3

Подставим в уравнение:

(x - 1) + (x - 3) = 2

Упростим:

2x - 4 = 2

Теперь решим уравнение:

2x = 2 + 4 2x = 6 x = 3

Это значение x = 3 попадает в наш случай.

Итак, соберем все решения:

• Все значения x из диапазона [1, 3] (включительно).
• Также x = 3 является отдельным решением.

Ответ: Все значения x такие, что 1 ≤ x ≤ 3.