Как вычислить производную функции y = 12x в 5 степени - 7x в квадрате + 5 корень x при x = 1?

Математика 9 класс Производные функций вычисление производной производная функции математика 9 класс производная в точке функции и производные Новый

Чтобы найти производную функции y = 12x^5 - 7x^2 + 5√x и вычислить её значение при x = 1, следуем следующим шагам:

Шаг 1: Найдем производную функции.

Для этого воспользуемся правилом дифференцирования:

• Производная x^n = n * x^(n-1).
• Производная константы умноженной на функцию = константа * производная функции.
• Производная корня: √x = x^(1/2), и производная x^(1/2) = (1/2) * x^(-1/2).

Теперь применим эти правила к нашей функции:

1. Для первого слагаемого 12x^5: производная будет 12 * 5 * x^(5-1) = 60x^4.
2. Для второго слагаемого -7x^2: производная будет -7 * 2 * x^(2-1) = -14x.
3. Для третьего слагаемого 5√x: производная будет 5 * (1/2) * x^(-1/2) = (5/2) * x^(-1/2).

Таким образом, производная функции y' будет равна:

y' = 60x^4 - 14x + (5/2)x^(-1/2).

Шаг 2: Подставим x = 1 в производную.

Теперь вычислим значение производной при x = 1:

1. 60 * (1^4) = 60.
2. -14 * (1) = -14.
3. (5/2) * (1^(-1/2)) = (5/2) * 1 = 5/2.

Теперь сложим все три части:

y'(1) = 60 - 14 + 5/2.

Шаг 3: Приведем к общему знаменателю и вычислим значение.

Чтобы сложить 60, -14 и 5/2, приведем 60 и -14 к общему знаменателю 2:

• 60 = 120/2,
• -14 = -28/2.

Теперь у нас есть:

y'(1) = (120/2) + (-28/2) + (5/2) = (120 - 28 + 5)/2 = 97/2.

Ответ: Производная функции y = 12x^5 - 7x^2 + 5√x при x = 1 равна 97/2.