Как вычислить производные заданных функций?

1. f(t)=0.5t³+0.6t²+0.8t+8, f '(1)-?

2. y=4x^3/4 + 3x^2/3 + 4x^1/2 + 3x

Математика 9 класс Производные функций вычисление производных производные функций математика 9 класс производная f(t) производная y задачи по производным Новый

Чтобы вычислить производные заданных функций, мы будем использовать правила дифференцирования. Давайте разберем каждую функцию по отдельности.

1. Функция f(t) = 0.5t³ + 0.6t² + 0.8t + 8

1. Сначала найдем производную f'(t). Используем правило дифференцирования для степенных функций: если f(t) = at^n, то f'(t) = n * a * t^(n-1).
2. Теперь применим это правило к каждому члену функции:
• Первый член: 0.5t³. Производная будет 3 * 0.5 * t^(3-1) = 1.5t².
• Второй член: 0.6t². Производная будет 2 * 0.6 * t^(2-1) = 1.2t.
• Третий член: 0.8t. Производная будет 1 * 0.8 * t^(1-1) = 0.8.
• Четвертый член: 8. Производная константы равна 0.
3. Теперь сложим все производные: f'(t) = 1.5t² + 1.2t + 0.8.

Теперь подставим t = 1 в найденную производную:

1. f'(1) = 1.5 * (1)² + 1.2 * (1) + 0.8 = 1.5 + 1.2 + 0.8 = 3.5.

Таким образом, f'(1) = 3.5.

2. Функция y = 4x^(3/4) + 3x^(2/3) + 4x^(1/2) + 3x

1. Теперь найдем производную y'. Снова используем правило дифференцирования для степенных функций:
• Первый член: 4x^(3/4). Производная будет (3/4) * 4 * x^(3/4 - 1) = 3x^(-1/4).
• Второй член: 3x^(2/3). Производная будет (2/3) * 3 * x^(2/3 - 1) = 2x^(-1/3).
• Третий член: 4x^(1/2). Производная будет (1/2) * 4 * x^(1/2 - 1) = 2x^(-1/2).
• Четвертый член: 3x. Производная будет 1 * 3 * x^(1-1) = 3.
2. Теперь сложим все производные: y' = 3x^(-1/4) + 2x^(-1/3) + 2x^(-1/2) + 3.

Таким образом, производные функций:

• f'(1) = 3.5
• y' = 3x^(-1/4) + 2x^(-1/3) + 2x^(-1/2) + 3