Как взять производную функции, предварительно прологарифмировав y = x в квадрате?

Математика 9 класс Производная функции производная функции логарифмирование y = x в квадрате математика 9 класс правила дифференцирования Новый

Чтобы найти производную функции, прологарифмировав y = x в квадрате, мы будем следовать нескольким шагам. Давайте разберем этот процесс подробно.

1. Запишем функцию:

   Наша функция выглядит так: y = x^2.

2. Прологарифмируем обе стороны:

   Применяем натуральный логарифм к обеим сторонам уравнения:

   ln(y) = ln(x^2).

3. Упростим правую часть:

   Используем свойство логарифмов, которое гласит, что ln(a^b) = b * ln(a):

   ln(y) = 2 * ln(x).

4. Теперь найдем производную:

   Мы будем использовать правило производной для логарифмической функции и правило произведения. Для функции ln(y) мы применим правило производной:

   (1/y) * dy/dx = 2 * (1/x).

   Здесь dy/dx — это производная y по x.

5. Умножим обе стороны на y:

   Теперь умножим обе стороны уравнения на y:

   dy/dx = 2 * (y/x).

6. Подставим обратно y:

   Поскольку y = x^2, мы можем подставить это значение:

   dy/dx = 2 * (x^2/x).

   dy/dx = 2 * x.

Таким образом, производная функции y = x^2 равна 2x. Мы использовали логарифмирование для упрощения процесса нахождения производной, что может быть полезно в более сложных случаях.