Чтобы найти сумму первых десяти членов арифметической прогрессии, нам сначала нужно определить её первый член и разность прогрессии.

Давайте обозначим:

• a1 - первый член прогрессии
• d - разность прогрессии

Мы знаем, что:

• a4 = a1 + 3d = 8
• a8 = a1 + 7d = 20

Теперь у нас есть две уравнения:

1. a1 + 3d = 8
2. a1 + 7d = 20

Теперь мы можем решить эту систему уравнений. Выразим a1 из первого уравнения:

a1 = 8 - 3d

Подставим это значение во второе уравнение:

(8 - 3d) + 7d = 20

Упростим уравнение:

8 - 3d + 7d = 20

8 + 4d = 20

Теперь вычтем 8 из обеих сторон:

4d = 12

Разделим обе стороны на 4:

d = 3

Теперь, зная d, можем найти a1, подставив значение d обратно в уравнение для a1:

a1 = 8 - 3 * 3 = 8 - 9 = -1

Теперь у нас есть первый член прогрессии a1 = -1 и разность d = 3. Теперь мы можем найти сумму первых десяти членов арифметической прогрессии.

Сумма первых n членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

S_n = (n / 2) * (a1 + a_n),

где a_n - n-й член прогрессии. Мы можем найти a10:

a10 = a1 + 9d = -1 + 9 * 3 = -1 + 27 = 26

Теперь подставим значения в формулу для суммы:

S_10 = (10 / 2) * (-1 + 26) = 5 * 25 = 125

Таким образом, сумма десяти первых членов арифметической прогрессии равна 125.