Какова сумма квадратов пяти членов арифметической прогрессии, если сумма четырех последовательных членов на 1 меньше пятого члена, а разность пятого и первого члена равна 2?

Математика 9 класс Арифметическая прогрессия сумма квадратов арифметическая прогрессия члены прогрессии разность членов математическая задача решение задачи свойства прогрессии Новый

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

Обозначим первый член арифметической прогрессии как a, а разность прогрессии как d. Тогда члены прогрессии можно записать так:

• Первый член: a
• Второй член: a + d
• Третий член: a + 2d
• Четвертый член: a + 3d
• Пятый член: a + 4d

Теперь рассмотрим условия задачи. Первое условие гласит, что сумма четырех последовательных членов на 1 меньше пятого члена:

Сумма четырех членов:

(a) + (a + d) + (a + 2d) + (a + 3d) = 4a + 6d

Пятое член:

(a + 4d)

По условию, имеем:

4a + 6d = (a + 4d) - 1

Теперь упростим это уравнение:

4a + 6d = a + 4d - 1

Переносим все члены в одну сторону:

4a + 6d - a - 4d + 1 = 0

Это упрощается до: 3a + 2d + 1 = 0

Теперь второе условие: разность пятого и первого члена равна 2:

(a + 4d) - a = 2

Упрощаем это:

4d = 2

Отсюда находим:

d = 0.5

Теперь подставим значение d в первое уравнение:

3a + 2(0.5) + 1 = 0

Упрощаем:

3a + 1 + 1 = 0 3a + 2 = 0

Решаем это уравнение:

3a = -2 a = -2/3

Теперь у нас есть значения a и d:

• a = -2/3
• d = 0.5

Теперь можем найти все пять членов прогрессии:

• Первый член: -2/3
• Второй член: -2/3 + 0.5 = -2/3 + 3/6 = 1/6
• Третий член: -2/3 + 1 = 1/3
• Четвертый член: -2/3 + 1.5 = 1/6 + 1 = 4/6 = 2/3
• Пятый член: -2/3 + 2 = 4/3

Теперь найдем сумму квадратов этих пяти членов:

(-2/3)^2 + (1/6)^2 + (1/3)^2 + (2/3)^2 + (4/3)^2

Вычислим каждое из этих значений:

• (-2/3)^2 = 4/9
• (1/6)^2 = 1/36
• (1/3)^2 = 1/9 = 4/36
• (2/3)^2 = 4/9
• (4/3)^2 = 16/9

Теперь сложим все эти значения:

4/9 + 1/36 + 4/36 + 4/9 + 16/9

Для удобства приведем к общему знаменателю, который равен 36:

• 4/9 = 16/36
• 4/9 = 16/36
• 16/9 = 64/36

Теперь складываем:

16/36 + 1/36 + 4/36 + 16/36 + 64/36 = 101/36

Таким образом, сумма квадратов пяти членов арифметической прогрессии равна 101/36.