Какова сумма первых пяти членов геометрической прогрессии, если b6=1/2 и q=1/5?

Математика 9 класс Геометрическая прогрессия сумма первых пяти членов Геометрическая прогрессия b6=1/2 q=1/5 математика 9 класс Новый

Чтобы найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, нам нужно сначала определить первый член прогрессии и затем использовать формулу для суммы первых n членов.

Дано:

• b6 = 1/2 (шестой член прогрессии)
• q = 1/5 (знаменатель прогрессии)

Формула для n-го члена геометрической прогрессии выглядит так:

bn = b1 * q^(n-1)

где bn - n-й член прогрессии, b1 - первый член прогрессии, q - знаменатель, n - номер члена.

Мы знаем, что:

b6 = b1 * q^(6-1) = b1 * q^5

Подставим известные значения:

1/2 = b1 * (1/5)^5

Теперь найдем (1/5)^5:

(1/5)^5 = 1/3125

Теперь подставим это значение в уравнение:

1/2 = b1 * (1/3125)

Чтобы найти b1, умножим обе стороны уравнения на 3125:

3125 * (1/2) = b1

b1 = 3125/2 = 1562.5

Теперь у нас есть первый член прогрессии b1 = 1562.5. Теперь мы можем найти сумму первых пяти членов. Формула для суммы первых n членов геометрической прогрессии:

S_n = b1 * (1 - q^n) / (1 - q)

Для первых пяти членов (n = 5):

S_5 = b1 * (1 - q^5) / (1 - q)

Теперь подставим известные значения:

S_5 = 1562.5 * (1 - (1/5)^5) / (1 - 1/5)

Сначала найдем (1 - (1/5)^5):

(1/5)^5 = 1/3125, следовательно, 1 - (1/5)^5 = 1 - 1/3125 = 3124/3125.

Теперь найдем (1 - 1/5):

1 - 1/5 = 4/5.

Теперь подставим все это в формулу:

S_5 = 1562.5 * (3124/3125) / (4/5)

Упрощаем:

S_5 = 1562.5 * (3124/3125) * (5/4)

Теперь посчитаем:

1562.5 * 5 = 7812.5.

Теперь делим на 4:

7812.5 / 4 = 1953.125.

Теперь умножим на (3124/3125):

1953.125 * (3124/3125) ≈ 1953.125 (поскольку 3124/3125 очень близко к 1).

Таким образом, сумма первых пяти членов геометрической прогрессии приблизительно равна 1953.125.