Похожие вопросы
2025-09-03 21:52:16
Помогите, пожалуйста, решить уравнение y' = tg(e^(2x)).
Математика 9 класс Дифференциальные уравнения уравнение решение уравнения производная математика 9 класс tg e в степени математический анализ Дифференциальные уравнения
2025-09-03 21:52:25
Для решения уравнения y' = tg(e^(2x)), нам нужно найти функцию y(x), которая удовлетворяет этому уравнению. Начнем с того, что y' обозначает производную функции y по x.
Итак, у нас есть:
y' = tg(e^(2x))
Чтобы найти функцию y, нам нужно проинтегрировать правую часть уравнения. Это значит, что мы будем находить интеграл от tg(e^(2x)).
Шаги решения:
- Запишем уравнение в интегральной форме:
- Используем замену переменной:
- Теперь подставим это в интеграл:
- Интегрируем:
- Теперь подставим обратно u = e^(2x):
y = ∫tg(e^(2x)) dx + C, где C - произвольная константа интегрирования.
Для интегрирования tg(e^(2x)) удобно использовать замену переменной. Пусть:
u = e^(2x), тогда du/dx = 2e^(2x), или dx = du/(2u).
y = ∫tg(u) * (du/(2u)) + C.
Интеграл от tg(u) можно выразить через логарифм:
∫tg(u) du = -ln|cos(u)| + C.
y = -ln|cos(e^(2x))|/2 + C.
Таким образом, общее решение уравнения y' = tg(e^(2x)) имеет вид:
y = -ln|cos(e^(2x))|/2 + C.
Это и есть искомая функция y(x), которая удовлетворяет данному дифференциальному уравнению.