Построй график функции y = (x² - 9)(x²) - x - 2 и определи, при каком значении k прямая y = kx имеет с графиком функции ровно одну общую точку.

Математика 9 класс Графики функций и их пересечения график функции y = (x² - 9)(x²) - x - 2 прямая y = kx одна общая точка значение k 9 класс математика Новый

Для начала давайте разберем функцию y = (x² - 9)(x²) - x - 2. Мы можем упростить это выражение, чтобы лучше понять его форму.

Шаг 1: Упростим функцию

• Распишем произведение: (x² - 9)(x²) = x² * x² - 9 * x² = x^4 - 9x².
• Теперь подставим это в исходное уравнение: y = x^4 - 9x² - x - 2.

Таким образом, наша функция принимает вид:

y = x^4 - 9x² - x - 2.

Шаг 2: Найдем условия для касания прямой

Чтобы прямая y = kx имела с графиком функции ровно одну общую точку, необходимо, чтобы уравнение:

x^4 - 9x² - x - 2 = kx

имело ровно одно решение. Это означает, что уравнение должно иметь дискриминант равный нулю.

Шаг 3: Преобразуем уравнение

Перепишем уравнение:

x^4 - 9x² - x - kx - 2 = 0

или

x^4 - 9x² - (k + 1)x - 2 = 0.

Обозначим:

a = k + 1.

Тогда уравнение принимает вид:

x^4 - 9x² - ax - 2 = 0.

Шаг 4: Найдем производную функции

Для нахождения точек касания, найдем производную функции:

y' = 4x^3 - 18x - a.

Шаг 5: Найдем условия касания

Для того чтобы у нас была одна общая точка, необходимо, чтобы производная в этой точке равнялась нулю:

4x^3 - 18x - a = 0.

Теперь мы имеем систему уравнений:

1. x^4 - 9x² - ax - 2 = 0,
2. 4x^3 - 18x - a = 0.

Шаг 6: Подставим значение a из второго уравнения в первое

Из второго уравнения выразим a:

a = 4x^3 - 18x.

Подставим это значение в первое уравнение:

x^4 - 9x² - (4x^3 - 18x)x - 2 = 0.

Упростим:

x^4 - 9x² - 4x^4 + 18x² - 2 = 0.

Соберем подобные:

-3x^4 + 9x² - 2 = 0.

Шаг 7: Найдем дискриминант

Это уравнение имеет вид:

3x^4 - 9x² + 2 = 0.

Дискриминант D этого уравнения должен быть равен нулю для того, чтобы у нас было ровно одно решение:

D = b² - 4ac = 0.

Теперь подставим значения a, b и c:

• a = -9,
• b = 0,
• c = 3.

Таким образом, мы получаем:

D = 0² - 4 * 3 * 2 = -24,

что меньше нуля, значит, у нас будет два решения.

Итак, мы можем сказать, что для того чтобы прямая y = kx касалась графика функции y = (x² - 9)(x²) - x - 2, значение k должно быть равно 18. Таким образом, k = 18.