Постройте график функции y=x|x|+2|x|-5x. Определите, при каких значениях m прямая y=m пересекает график функции ровно в двух точках.

Математика 9 класс Графики функций и их пересечения график функции y=x|x|+2|x|-5x 9 класс математика пересечение графика прямая y=m значения m две точки анализ функции задачи по математике Новый

Давайте разберем функцию y = x|x| + 2|x| - 5x и построим её график. Для этого сначала упростим выражение, учитывая, что |x| зависит от знака x.

Шаг 1: Разделим функцию на три случая в зависимости от знака x.

• Случай 1: x < 0

В этом случае |x| = -x, поэтому:

• y = x(-x) + 2(-x) - 5x = -x^2 - 2x - 5x = -x^2 - 7x
• Случай 2: x = 0

Когда x = 0, подставим значение в функцию:

• y = 0|0| + 2|0| - 5*0 = 0
• Случай 3: x > 0

В этом случае |x| = x, поэтому:

• y = x(x) + 2(x) - 5x = x^2 + 2x - 5x = x^2 - 3x

Шаг 2: Построим график функции.

Теперь у нас есть три части функции:

• Для x < 0: y = -x^2 - 7x
• Для x = 0: y = 0
• Для x > 0: y = x^2 - 3x

График функции будет выглядеть следующим образом:

• Для x < 0: это парабола, открытая вниз, с вершиной, которая находится на оси y.
• Для x = 0: точка пересечения с осью y.
• Для x > 0: это парабола, открытая вверх, с вершиной, находящейся между 0 и 3.

Шаг 3: Определим, при каких значениях m прямая y = m пересекает график функции ровно в двух точках.

Чтобы прямая y = m пересекала график функции ровно в двух точках, она должна пересекаться с одной из частей функции, но не пересекаться с другой.

Рассмотрим каждый случай:

• Для x < 0: y = -x^2 - 7x. Эта часть функции имеет максимум, и прямая может пересекать её в двух точках, если m меньше максимального значения функции.
• Для x > 0: y = x^2 - 3x. Эта часть функции имеет минимум, и прямая может пересекать её в двух точках, если m больше минимального значения функции.

Теперь найдем максимальное и минимальное значения:

• Для y = -x^2 - 7x, максимальное значение достигается в вершине параболы, которая находится при x = -b/(2a) = -(-7)/(2*(-1)) = 7/2. Подставим это значение в функцию:
• y = - (7/2)^2 - 7*(7/2) = -49/4 - 49/2 = -49/4 - 98/4 = -147/4 = -36.75.
• Для y = x^2 - 3x, минимальное значение достигается также в вершине при x = 3/2. Подставим это значение:
• y = (3/2)^2 - 3*(3/2) = 9/4 - 9/2 = 9/4 - 18/4 = -9/4 = -2.25.

Итак, прямая y = m пересекает график функции ровно в двух точках, если:

• m < -36.75 (для части y = -x^2 - 7x) или
• m > -2.25 (для части y = x^2 - 3x).

Таким образом, прямая y = m будет пересекаться с графиком функции ровно в двух точках, если m < -36.75 или m > -2.25.