Решите следующие уравнения:

1. |х-5|+|11-х|=6
2. |7-x|-|x+3|=-10

Математика 9 класс Уравнения с модулями уравнения математика 9 класс решение уравнений модульные уравнения задачи по математике Новый

Решим оба уравнения по порядку.

Первое уравнение: |x-5| + |11-x| = 6

Для решения уравнения с модулями, нужно рассмотреть различные случаи в зависимости от значений x, так как модули меняют свое значение в зависимости от того, меньше или больше их аргументы определенных точек.

Точки, в которых меняются значения модулей, это 5 и 11. Разделим все возможные случаи:

1. Случай 1: x < 5

В этом случае |x-5| = 5-x и |11-x| = 11-x.

Подставляем в уравнение:

(5 - x) + (11 - x) = 6

Упрощаем:

16 - 2x = 6

2x = 10

x = 5

Но x не может быть меньше 5, значит, это решение не подходит.

2. Случай 2: 5 ≤ x < 11

В этом случае |x-5| = x-5 и |11-x| = 11-x.

Подставляем в уравнение:

(x - 5) + (11 - x) = 6

Упрощаем:

6 = 6

Это уравнение верно для всех x в этом диапазоне. Значит, все значения x от 5 до 11 (включительно) являются решениями.

3. Случай 3: x ≥ 11

В этом случае |x-5| = x-5 и |11-x| = x-11.

Подставляем в уравнение:

(x - 5) + (x - 11) = 6

Упрощаем:

2x - 16 = 6

2x = 22

x = 11

Это решение также подходит, так как x равно 11.

Таким образом, решения первого уравнения: x ∈ [5, 11].

Второе уравнение: |7-x| - |x+3| = -10

Здесь также рассмотрим различные случаи в зависимости от значений x. Ключевые точки: 7 и -3.

1. Случай 1: x < -3

В этом случае |7-x| = 7-x и |x+3| = -x-3.

Подставляем в уравнение:

(7 - x) - (-x - 3) = -10

Упрощаем:

7 - x + x + 3 = -10

10 = -10

Это неверно, значит, решений нет.

2. Случай 2: -3 ≤ x < 7

В этом случае |7-x| = 7-x и |x+3| = x+3.

Подставляем в уравнение:

(7 - x) - (x + 3) = -10

Упрощаем:

7 - x - x - 3 = -10

4 - 2x = -10

-2x = -14

x = 7

Это значение не подходит, так как x должно быть меньше 7.

3. Случай 3: x ≥ 7

В этом случае |7-x| = x-7 и |x+3| = x+3.

Подставляем в уравнение:

(x - 7) - (x + 3) = -10

Упрощаем:

x - 7 - x - 3 = -10

-10 = -10

Это уравнение верно для всех x ≥ 7.

Таким образом, решения второго уравнения: x ≥ 7.

Итак, окончательные решения:

• Первое уравнение: x ∈ [5, 11]
• Второе уравнение: x ≥ 7