Решите уравнение: cos2x = cosx.

Математика 9 класс Уравнения тригонометрические уравнение cos2x cosX решение уравнения математика 9 класс Тригонометрия задачи по математике Новый

Для решения уравнения cos(2x) = cos(x) начнем с того, что мы можем использовать формулу для косинуса двойного угла. Эта формула выглядит следующим образом:

cos(2x) = 2cos²(x) - 1

Теперь подставим эту формулу в наше уравнение:

2cos²(x) - 1 = cos(x)

Теперь мы можем привести уравнение к стандартному виду, переместив все члены в одну сторону:

2cos²(x) - cos(x) - 1 = 0

Это квадратное уравнение относительно cos(x). Обозначим y = cos(x), тогда уравнение примет вид:

2y² - y - 1 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант D вычисляется по формуле:

D = b² - 4ac

В нашем случае a = 2, b = -1, c = -1. Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

D = (-1)² - 4 * 2 * (-1) = 1 + 8 = 9

Теперь, когда мы нашли дискриминант, можем найти корни уравнения по формуле:

y = (-b ± √D) / (2a)

Подставим значения:

y = (1 ± √9) / (2 * 2) = (1 ± 3) / 4

Теперь найдем два корня:

1. y₁ = (1 + 3) / 4 = 4 / 4 = 1
2. y₂ = (1 - 3) / 4 = -2 / 4 = -0.5

Теперь мы имеем два значения для y: 1 и -0.5. Теперь найдем соответствующие значения x:

1. Если y = 1, то cos(x) = 1. Это происходит, когда:

• x = 2kπ, где k - любое целое число.

2. Если y = -0.5, то cos(x) = -0.5. Это происходит, когда:

• x = (2k + 1)π/3, где k - любое целое число.

Таким образом, общее решение уравнения cos(2x) = cos(x) можно записать так:

x = 2kπ и x = (2k + 1)π/3, где k - любое целое число.