Сумма первых шестнадцати членов арифметической прогрессии равна 64, а сумма первых двадцати пяти её членов составляет 190. Сколько положительных трёхзначных чисел можно найти в этой прогрессии?

Математика 9 класс Арифметическая прогрессия арифметическая прогрессия сумма членов прогрессии трижды численные значения математика 9 класс задача на прогрессию Новый

Давайте обозначим первый член арифметической прогрессии как a, а разность прогрессии как d. Сумма первых n членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

S_n = n/2 * (2a + (n - 1)d)

Теперь подставим значения для первых 16 и 25 членов:

1. Сумма первых 16 членов равна 64:

S_{16} = 16/2 * (2a + 15d) = 64

Сократим 16/2 до 8:

8 * (2a + 15d) = 64

Разделим обе стороны на 8:

2a + 15d = 8 (1)
2. Сумма первых 25 членов равна 190:

S_{25} = 25/2 * (2a + 24d) = 190

Сократим 25/2:

12.5 * (2a + 24d) = 190

Разделим обе стороны на 12.5:

2a + 24d = 15.2 (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. 2a + 15d = 8 (1)
2. 2a + 24d = 15.2 (2)

Вычтем уравнение (1) из уравнения (2):

(2a + 24d) - (2a + 15d) = 15.2 - 8

Это упростится до:

9d = 7.2

Теперь найдем d:

d = 7.2 / 9 = 0.8

Теперь подставим значение d в уравнение (1) для нахождения a:

2a + 15 * 0.8 = 8

Это упростится до:

2a + 12 = 8

2a = 8 - 12

2a = -4

a = -2

Теперь мы имеем первый член прогрессии a = -2 и разность d = 0.8. Теперь мы можем записать общий член прогрессии:

a_n = a + (n - 1)d = -2 + (n - 1)*0.8

Теперь упрощаем:

a_n = -2 + 0.8n - 0.8 = 0.8n - 2.8

Теперь нам нужно найти, сколько положительных трехзначных чисел есть в этой прогрессии. Трехзначные числа находятся в диапазоне от 100 до 999:

100 <= 0.8n - 2.8 <= 999

Решим первое неравенство:

0.8n - 2.8 >= 100

0.8n >= 102.8

n >= 102.8 / 0.8 = 128.5

Так как n должно быть целым, то n >= 129.

Теперь решим второе неравенство:

0.8n - 2.8 <= 999

0.8n <= 1001.8

n <= 1001.8 / 0.8 = 1252.25

Так как n должно быть целым, то n <= 1252.

Теперь мы имеем диапазон для n: от 129 до 1252. Найдем количество целых чисел в этом диапазоне:

1252 - 129 + 1 = 1124

Таким образом, в данной арифметической прогрессии можно найти 1124 положительных трехзначных числа.