Как можно определить общее решение дифференциального уравнения:

y'' + 2y' + 2y = 4e^x

Математика Колледж Дифференциальные уравнения определение общего решения Дифференциальное уравнение y'' + 2y' + 2y = 4e^x методы решения уравнений математика 12 класс Новый

Чтобы найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка, такого как y'' + 2y' + 2y = 4e^x, мы должны выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Шаг 1: Найти общее решение однородного уравнения

Сначала решим однородное уравнение, которое получается, если правая часть равна нулю:

y'' + 2y' + 2y = 0.

Это уравнение имеет характерный полином:

r^2 + 2r + 2 = 0.

Теперь находим корни этого полинома, используя формулу для корней квадратного уравнения:

• r = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = 2, c = 2.

Подставляем значения:

• r = (-2 ± √(2² - 4 * 1 * 2)) / (2 * 1) = (-2 ± √(4 - 8)) / 2 = (-2 ± √(-4)) / 2.

Корни будут комплексными:

• r = -1 ± i.

Таким образом, общее решение однородного уравнения будет иметь вид:

y_h = e^(-x)(C1 * cos(x) + C2 * sin(x)),

где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Шаг 2: Найти частное решение неоднородного уравнения

Теперь перейдем к поиску частного решения неоднородного уравнения:

y'' + 2y' + 2y = 4e^x.

Для этого используем метод неопределенных коэффициентов. Поскольку правая часть уравнения является экспонентой, предположим, что частное решение имеет вид:

y_p = Ae^x,

где A - постоянная, которую нужно определить.

Теперь найдем производные:

• y_p' = Ae^x,
• y_p'' = Ae^x.

Подставим y_p и его производные в исходное уравнение:

Ae^x + 2Ae^x + 2(Ae^x) = 4e^x.

Соберем все слагаемые:

5Ae^x = 4e^x.

Теперь приравняем коэффициенты:

5A = 4, откуда A = 4/5.

Таким образом, частное решение будет:

y_p = (4/5)e^x.

Шаг 3: Общее решение

Теперь мы можем записать общее решение исходного дифференциального уравнения, складывая общее решение однородного уравнения и частное решение:

y = y_h + y_p.

Итак, общее решение будет:

y = e^(-x)(C1 * cos(x) + C2 * sin(x)) + (4/5)e^x.

Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения.