Как можно решить дифференциальное уравнение методом Бернулли: y' + y * tgx = 1 / cosx?

Математика Колледж Дифференциальные уравнения Дифференциальное уравнение метод Бернулли решение уравнения y' + y * tgx 1 / cosx математика 12 класс Новый

Чтобы решить данное дифференциальное уравнение методом Бернулли, сначала нужно привести его к стандартному виду. Уравнение имеет вид:

y' + y * tg(x) = 1 / cos(x)

Это уравнение можно переписать в более удобной форме:

y' + p(x)y = q(x)

где:

• p(x) = tg(x)
• q(x) = 1 / cos(x)

Теперь мы можем заметить, что это уравнение является линейным, так как оно не содержит y в степени больше 1. Для решения линейного уравнения мы можем использовать интегрирующий множитель.

Интегрирующий множитель определяется как:

μ(x) = e^(∫p(x)dx)

В нашем случае:

p(x) = tg(x)

Теперь находим интеграл:

∫tg(x)dx = ln|sec(x)|

Таким образом, интегрирующий множитель будет:

μ(x) = e^(ln|sec(x)|) = sec(x)

Теперь умножим все уравнение на этот интегрирующий множитель:

sec(x)y' + sec(x)y * tg(x) = sec(x) / cos(x)

Используя тригонометрическую идентичность, мы можем упростить правую часть:

sec(x) / cos(x) = 1 / cos^2(x) = sec^2(x)

Теперь у нас есть:

sec(x)y' + sec(x) * tg(x)y = sec^2(x)

Левая часть уравнения может быть переписана как производная произведения:

(sec(x)y)' = sec^2(x)

Теперь интегрируем обе стороны:

∫(sec(x)y)'dx = ∫sec^2(x)dx

Левая часть интеграла просто даст нам sec(x)y, а правая часть:

∫sec^2(x)dx = tan(x) + C

Таким образом, мы получаем:

sec(x)y = tan(x) + C

Теперь, чтобы выразить y, умножим обе стороны на cos(x):

y = cos(x)(tan(x) + C)

Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения методом Бернулли. Не забудьте, что C - это произвольная константа, которая может быть определена, если у нас есть начальные условия.