Как можно решить дифференциальное уравнение вида xy’ + y - 3 = 0?

Математика Колледж Дифференциальные уравнения решение дифференциального уравнения xy’ + y - 3 методы решения уравнений математика 12 класс Дифференциальные уравнения учебник по математике Новый

Для решения дифференциального уравнения вида xy’ + y - 3 = 0, давайте сначала перепишем его в более удобной форме. Мы можем выразить производную y' через y:

1. Перепишем уравнение:
• xy’ + y - 3 = 0
• xy’ = 3 - y
• y’ = (3 - y) / x

Теперь у нас есть уравнение в форме y' = f(x, y), где f(x, y) = (3 - y) / x.

Это уравнение является обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка и может быть решено методом разделения переменных. Для этого мы можем записать уравнение в следующем виде:

1. Разделим переменные:
• dy / (3 - y) = dx / x

Теперь мы можем интегрировать обе стороны:

1. Интегрируем левую часть:
• ∫ dy / (3 - y) = -ln|3 - y| + C1
2. Интегрируем правую часть:
• ∫ dx / x = ln|x| + C2

Теперь у нас есть:

1. -ln|3 - y| = ln|x| + C

Где C = C2 - C1 (константа интегрирования).

Мы можем избавиться от логарифмов, возведя обе стороны в экспоненту:

1. |3 - y| = e^(-ln|x| - C) = |x|^(-1) * e^(-C)

Обозначим e^(-C) как K (новая константа), тогда:

1. |3 - y| = K / |x|

Теперь, чтобы выразить y, мы можем записать:

1. 3 - y = ±K / x
2. y = 3 ± K / x

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид:

y = 3 ± K / x

где K - произвольная константа.