Как можно решить задачу Коши с начальными условиями y(0) = 1 для уравнения (x^2 - 1) y' - 2xy = 0?

Математика Колледж Дифференциальные уравнения решение задачи Коши начальные условия уравнение y(0) = 1 (x^2 - 1) y' - 2xy = 0 математика Дифференциальные уравнения Новый

Для решения задачи Коши с начальными условиями y(0) = 1 для уравнения (x^2 - 1) y' - 2xy = 0, начнем с анализа данного уравнения.

Уравнение можно переписать в более удобной форме:

1. Сначала выразим y':
• (x^2 - 1) y' = 2xy
• y' = (2xy) / (x^2 - 1)

Теперь у нас есть уравнение в виде y' = f(x, y). Это уравнение является обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка.

Для решения данного уравнения удобно использовать метод разделения переменных. Мы можем переписать уравнение следующим образом:

1. Переносим все члены, содержащие y, в одну часть уравнения:
• y' = (2x / (x^2 - 1)) * y
2. Теперь разделим переменные:
• (1/y) dy = (2x / (x^2 - 1)) dx

Теперь интегрируем обе стороны:

1. Интегрируем левую часть:
• ∫(1/y) dy = ln|y| + C1
2. Интегрируем правую часть:
• ∫(2x / (x^2 - 1)) dx. Для этого воспользуемся методом разложения на простейшие дроби:
• 2x / (x^2 - 1) = 2x / ((x - 1)(x + 1)).
• Разложим на простейшие дроби:
• 2x / (x^2 - 1) = A/(x - 1) + B/(x + 1).
• Решая это уравнение, найдем A и B.
• После нахождения A и B мы можем интегрировать.

После интегрирования правой части, мы получим:

1. ln|y| = ln|x^2 - 1| + C2.
2. Теперь возводим обе стороны в степень:
• y = e^(C2) * |x^2 - 1|.

Теперь, чтобы найти константу, используем начальное условие y(0) = 1:

1. Подставим x = 0 в уравнение:
• 1 = e^(C2) * |0^2 - 1| = e^(C2) * 1.
• Следовательно, e^(C2) = 1, и C2 = 0.

Таким образом, окончательно получаем:

y = |x^2 - 1|.

Это и есть решение задачи Коши для данного уравнения с начальными условиями y(0) = 1.