Как можно вычислить неопределенный интеграл выражения dx/√(1 - 4x²)?

Математика Колледж Неопределенные интегралы неопределенный интеграл вычисление интеграла интеграл dx/√(1 - 4x²) математика интегралы Новый

Для вычисления неопределенного интеграла выражения dx/√(1 - 4x²), мы можем воспользоваться методом подстановки. Давайте разберем шаги решения этого интеграла.

1. Определим подстановку: Заметим, что в выражении под корнем стоит 1 - 4x². Это можно привести к виду, который мы знаем. Для этого сделаем подстановку:
   • x = (1/2)sin(θ). Тогда dx = (1/2)cos(θ)dθ.
2. Подставим в интеграл: Теперь подставим x и dx в наш интеграл:
   • Когда x = (1/2)sin(θ), то 4x² = sin²(θ), и 1 - 4x² = 1 - sin²(θ) = cos²(θ).
   • Следовательно, √(1 - 4x²) = √(cos²(θ)) = cos(θ).
3. Запишем интеграл через θ: Теперь наш интеграл принимает вид: ∫(1/cos(θ)) * (1/2)cos(θ)dθ = ∫(1/2)dθ.
4. Вычислим интеграл: Интеграл от (1/2) по dθ: (1/2)θ + C, где C – произвольная константа интегрирования.
5. Вернемся к переменной x: Теперь нам нужно выразить θ через x. Из нашей подстановки x = (1/2)sin(θ), мы можем выразить θ как: θ = arcsin(2x).
6. Запишем ответ: Подставляя обратно θ в наш результат, мы получаем: (1/2)arcsin(2x) + C.

Таким образом, неопределенный интеграл выражения dx/√(1 - 4x²) равен (1/2)arcsin(2x) + C.