Похожие вопросы
2025-01-12 02:26:04
Решите пошагово неопределенный интеграл: ∫arccos²(x)/√(1-x²) dx
Математика Колледж Неопределенные интегралы неопределенный интеграл arccos²(x) √(1-x²) пошаговое решение математика интегрирование
2025-01-12 02:26:14
Для решения неопределенного интеграла ∫arccos²(x)/√(1-x²) dx, начнем с применения замены переменной.
Шаг 1: Замена переменной
Пусть u = arccos(x). Тогда производная u по x будет:
- du/dx = -1/√(1-x²)
Следовательно, dx = -√(1-x²) du.
Также заметим, что x = cos(u), что позволяет нам выразить √(1-x²) как √(1-cos²(u)) = √(sin²(u)) = sin(u).
Шаг 2: Подстановка в интеграл
Теперь подставим все в интеграл:
- ∫arccos²(x)/√(1-x²) dx = ∫u² / sin(u) * (-sin(u) du) = -∫u² du.
Шаг 3: Интегрирование
Теперь интегрируем -∫u² du:
- -∫u² du = - (u³/3) + C,
где C - произвольная константа интегрирования.
Шаг 4: Возвращение к исходной переменной
Теперь вернемся к переменной x, подставив обратно u = arccos(x):
- - (arccos(x)³/3) + C.
Ответ:
Итак, окончательный ответ на интеграл:
∫arccos²(x)/√(1-x²) dx = - (arccos(x)³/3) + C.
