Решите пошагово неопределенный интеграл: ∫arccos²(x)/√(1-x²) dx

Математика Колледж Неопределенные интегралы неопределенный интеграл arccos²(x) √(1-x²) пошаговое решение математика интегрирование Новый

Для решения неопределенного интеграла ∫arccos²(x)/√(1-x²) dx, начнем с применения замены переменной.

Шаг 1: Замена переменной

Пусть u = arccos(x). Тогда производная u по x будет:

• du/dx = -1/√(1-x²)

Следовательно, dx = -√(1-x²) du.

Также заметим, что x = cos(u), что позволяет нам выразить √(1-x²) как √(1-cos²(u)) = √(sin²(u)) = sin(u).

Шаг 2: Подстановка в интеграл

Теперь подставим все в интеграл:

• ∫arccos²(x)/√(1-x²) dx = ∫u² / sin(u) * (-sin(u) du) = -∫u² du.

Шаг 3: Интегрирование

Теперь интегрируем -∫u² du:

• -∫u² du = - (u³/3) + C,

где C - произвольная константа интегрирования.

Шаг 4: Возвращение к исходной переменной

Теперь вернемся к переменной x, подставив обратно u = arccos(x):

• - (arccos(x)³/3) + C.

Ответ:

Итак, окончательный ответ на интеграл:

∫arccos²(x)/√(1-x²) dx = - (arccos(x)³/3) + C.