Как вычислить интеграл:

∫ (1 + x²) / (1 + x⁴) dx

С подробным решением?

Математика Колледж Неопределенные интегралы вычислить интеграл интеграл (1 + x²) / (1 + x⁴) подробное решение интеграла Новый

Чтобы вычислить интеграл ∫ (1 + x²) / (1 + x⁴) dx, мы можем использовать метод разложения на простейшие дроби. Давайте разберем шаги решения.

1. Разложение подынтегральной функции:

   Сначала мы можем заметить, что числитель можно представить в виде суммы, чтобы упростить интеграл. Мы можем записать:

   (1 + x²) = (1 + x⁴) - (x⁴ - x²) = (1 + x⁴) - x²(x² - 1).

   Таким образом, интеграл можно переписать как:

   ∫ (1 + x²) / (1 + x⁴) dx = ∫ [1 - (x²(x² - 1) / (1 + x⁴))] dx.

2. Разделение интеграла:

   Теперь мы можем разделить интеграл на два отдельных интеграла:

   ∫ (1 + x²) / (1 + x⁴) dx = ∫ 1 dx - ∫ (x²(x² - 1) / (1 + x⁴)) dx.

3. Вычисление первого интеграла:

   Первый интеграл легко вычисляется:

   ∫ 1 dx = x + C₁, где C₁ - произвольная константа.

4. Вычисление второго интеграла:

   Теперь давайте сосредоточимся на втором интеграле:

   ∫ (x²(x² - 1) / (1 + x⁴)) dx.

   Мы можем упростить его, заметив, что x²(x² - 1) = x⁴ - x². Таким образом, мы можем разбить интеграл:

   ∫ (x⁴ / (1 + x⁴)) dx - ∫ (x² / (1 + x⁴)) dx.

5. Вычисление первого из новых интегралов:

   Интеграл ∫ (x⁴ / (1 + x⁴)) dx можно упростить:

   ∫ (x⁴ / (1 + x⁴)) dx = ∫ [1 - (1 / (1 + x⁴))] dx = ∫ 1 dx - ∫ (1 / (1 + x⁴)) dx.

   Первый интеграл равен x, а второй интеграл ∫ (1 / (1 + x⁴)) dx требует более сложных методов (например, использование тригонометрической подстановки или таблиц интегралов).

6. Вычисление второго нового интеграла:

   Интеграл ∫ (x² / (1 + x⁴)) dx также можно решить с помощью подстановки или таблиц интегралов.

Итак, итоговый ответ будет выглядеть как:

∫ (1 + x²) / (1 + x⁴) dx = x - ∫ (1 / (1 + x⁴)) dx - ∫ (x² / (1 + x⁴)) dx + C, где C - произвольная константа.

Обратите внимание, что интегралы ∫ (1 / (1 + x⁴)) dx и ∫ (x² / (1 + x⁴)) dx могут быть найдены в таблицах интегралов или с использованием специальных функций.