Как вычислить неопределённый интеграл: ∫ (1 / (x^4 + 1)) dx?

Математика Колледж Неопределенные интегралы неопределенный интеграл вычисление интеграла интеграл x^4 + 1 математика интегралы методы интегрирования Новый

Для вычисления неопределённого интеграла ∫ (1 / (x^4 + 1)) dx, мы можем воспользоваться методом разложения на простейшие дроби или тригонометрическими подстановками. Однако в данном случае целесообразнее использовать подстановку и тригонометрические функции. Давайте рассмотрим шаги решения более подробно.

1. Подбор подстановки:

   Заметим, что выражение x^4 + 1 можно переписать через тригонометрические функции. Для этого мы можем использовать подстановку:

   x^2 = tan(t),

   тогда dx = (1/2) sec^2(t) dt.

2. Выражение в интеграле:

   Теперь подставим x^2 = tan(t) в наш интеграл:

   x^4 = (tan(t))^2 = tan^2(t),

   поэтому x^4 + 1 = tan^2(t) + 1 = sec^2(t).

   Интеграл теперь выглядит так:

   ∫ (1 / (sec^2(t))) * (1/2) sec^2(t) dt = ∫ (1/2) dt.

3. Вычисление интеграла:

   Теперь мы можем легко вычислить интеграл:

   ∫ (1/2) dt = (1/2) t + C, где C - произвольная константа интегрирования.

4. Обратная подстановка:

   Теперь вернёмся к переменной x. Мы знаем, что:

   t = arctan(x^2).

   Таким образом, подставляем обратно:

   (1/2) arctan(x^2) + C.

Ответ: Неопределённый интеграл ∫ (1 / (x^4 + 1)) dx = (1/2) arctan(x^2) + C.