Как найти частное решение дифференциального уравнения, которое удовлетворяет начальному условию y(4) = 1, если дано уравнение y' = -(y/x)?

Математика Колледж Дифференциальные уравнения частное решение Дифференциальное уравнение начальное условие y(4) = 1 уравнение y' = -(y/x) Новый

Чтобы решить дифференциальное уравнение y' = -(y/x) и найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(4) = 1, следуем следующим шагам:

1. Перепишем уравнение:

   Уравнение можно записать в виде:

   y' + (1/x)y = 0

2. Определим тип уравнения:

   Это линейное однородное уравнение первого порядка.

3. Найдём интегрирующий множитель:

   Интегрирующий множитель μ(x) можно найти по формуле:

   μ(x) = e^(∫(1/x)dx) = e^(ln|x|) = |x|.

   Для положительных x мы можем использовать просто x.

4. Умножим уравнение на интегрирующий множитель:

   Умножаем всё уравнение на x:

   x*y' + y = 0.

5. Запишем левую часть как производную:

   Левая часть уравнения теперь выглядит как производная:

   (xy)' = 0.

6. Проинтегрируем обе стороны:

   Интегрируем:

   xy = C, где C - произвольная константа.

7. Выразим y:

   Теперь выразим y:

   y = C/x.

8. Найдём константу C, используя начальное условие:

   Подставим начальное условие y(4) = 1:

   1 = C/4.

   Отсюда получаем:

   C = 4.

9. Запишем частное решение:

   Таким образом, частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию, будет:

   y = 4/x.

Итак, частное решение уравнения y' = -(y/x) с начальным условием y(4) = 1 равно y = 4/x.