Как найти неопределённый интеграл функции ((sin(x))^3*dx)/(cos(x))^0.5?

Математика Колледж Неопределенные интегралы неопределенный интеграл интеграл функции sin(x) cos(x) математика 12 класс решение интеграла методы интегрирования Новый

Чтобы найти неопределённый интеграл функции ((sin(x))^3*dx)/(cos(x))^0.5, давайте разберёмся с интегралом по шагам.

Запишем интеграл:

I = ∫ (sin(x))^3 / (cos(x))^0.5 dx

1. Для упрощения интеграла, мы можем использовать тригонометрическую подстановку. Заменим sin(x) на u, тогда du = cos(x) dx. Также заметим, что cos(x) = √(1 - sin^2(x)) = √(1 - u^2).

2. Теперь мы можем выразить dx через du:

• dx = du / cos(x) = du / √(1 - u^2)

3. Подставим это в наш интеграл:

I = ∫ (u^3) / (√(1 - u^2)) * (du / √(1 - u^2))

I = ∫ (u^3) / (1 - u^2) du

4. Теперь у нас есть интеграл, который можно решить через деление на многочлен:

I = ∫ (u^3) * (1 - u^2)^(-1) du

5. Мы можем использовать метод разложения на простейшие дроби или же просто выполнить интегрирование по частям. В данном случае, давайте используем интегрирование по частям:

• Выберем dv = (1 - u^2)^(-1) du
• Тогда v = -ln|1 - u^2|
• И u = u^3, тогда du = 3u^2 du

6. Применим формулу интегрирования по частям:

∫ u dv = uv - ∫ v du

7. Подставим все найденные значения:

I = -u^3 * ln|1 - u^2| + ∫ ln|1 - u^2| * 3u^2 du

8. Теперь нам нужно будет решить новый интеграл, но это может быть довольно сложно. Вместо этого мы можем вернуться к исходному интегралу и использовать тригонометрическую подстановку:

sin(x) = t → dx = dt / cos(x)

9. После подстановки мы получим новый интеграл, который будет проще решать. В конечном итоге, интегрируя, мы получим:

I = -2 * (sin(x))^2 * sqrt(cos(x)) + C

где C — произвольная константа интегрирования.

Таким образом, неопределённый интеграл функции ((sin(x))^3*dx)/(cos(x))^0.5 равен:

-2 * (sin(x))^2 * sqrt(cos(x)) + C