Давайте разберем вашу задачу по шагам. Мы начнем с поиска общего решения однородного дифференциального уравнения, а затем перейдем к решению задачи Коши.

Шаг 1: Решение однородного уравнения

Однородное дифференциальное уравнение, которое нам дано, выглядит так:

y'' - 2y' + 2 = 0

Для его решения мы найдем характеристическое уравнение, которое получается из замены y на e^(rt), где r - корень характеристического уравнения:

r^2 - 2r + 2 = 0

Теперь решим это уравнение с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 * 1 * 2 = 4 - 8 = -4

Поскольку дискриминант отрицательный, у нас будут комплексные корни:

r = (2 ± √(-4)) / 2 = 1 ± i

Таким образом, корни r1 = 1 + i и r2 = 1 - i.

Общее решение однородного уравнения будет иметь вид:

y_h(t) = e^(1t)(C1 * cos(t) + C2 * sin(t)),

где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Шаг 2: Решение неоднородного уравнения

Теперь рассмотрим задачу Коши:

y'' - 6y' + 9y = 2e^(-t) + 3

Сначала найдем общее решение однородной части:

y'' - 6y' + 9y = 0

Характеристическое уравнение будет:

r^2 - 6r + 9 = 0

Решим его:

• D = (-6)^2 - 4 * 1 * 9 = 36 - 36 = 0

У нас есть двойной корень:

r = 3.

Общее решение однородного уравнения:

y_h(t) = (C1 + C2 * t)e^(3t).

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения. Мы можем попробовать использовать метод неопределенных коэффициентов. Поскольку правая часть имеет вид 2e^(-t) + 3, предположим, что частное решение имеет вид:

y_p(t) = Ae^(-t) + B,

где A и B - постоянные.

Теперь найдем производные y_p:

• y_p' = -Ae^(-t),
• y_p'' = Ae^(-t).

Подставим y_p, y_p' и y_p'' в неоднородное уравнение:

Ae^(-t) - 6(-Ae^(-t)) + 9(Ae^(-t) + B) = 2e^(-t) + 3.

Упрощая, получаем:

(A + 6A + 9A)e^(-t) + 9B = 2e^(-t) + 3.

Сравнивая коэффициенты, получаем систему уравнений:

• 16A = 2,
• 9B = 3.

Решим эту систему:

• A = 2/16 = 1/8,
• B = 3/9 = 1/3.

Таким образом, частное решение:

y_p(t) = (1/8)e^(-t) + 1/3.

Шаг 3: Полное решение

Теперь мы можем записать полное решение:

y(t) = y_h(t) + y_p(t) = (C1 + C2 * t)e^(3t) + (1/8)e^(-t) + 1/3.

Шаг 4: Применение начальных условий

Теперь подставим начальные условия:

y(0) = 4/3 и y'(0) = 1/27.

Сначала найдем y(0):

y(0) = (C1)e^0 + (1/8)e^0 + 1/3 = C1 + 1/8 + 1/3 = 4/3.

Сложим 1/8 и 1/3:

• 1/8 + 1/3 = 3/24 + 8/24 = 11/24.

Тогда у нас:

C1 + 11/24 = 4/3.

Переведем 4/3 в 24-й знаменатель:

4/3 = 32/24.

Следовательно:

C1 = 32/24 - 11/24 = 21/24 = 7/8.

Теперь найдем y'(t) и подставим y'(0):

y'(t) = [C2 * e^(3t) + 3(C1 + C2 * t) * e^(3t)] + (-1/8)e^(-t).

Подставим t = 0:

y'(0) = [C2 + 3C1] - 1/8 = 1/27.

Итак, у нас есть уравнение:

C2 + 3(7/8) - 1/8 = 1/27.

Сложим 3(7/8) и -1/8:

• 3(7/8) - 1/8 = 21/8 - 1/8 = 20/8 = 5/2.

Следовательно:

C2 + 5/2 = 1/27.

Решаем для C2:

C2 = 1/27 - 5/2 = 1/27 - 67.5/27 = -66.5/27.

Ответ:

Общее решение: y(t) = (7/8 + C2 * t)e^(3t) + (1/8)e^(-t) + 1/3, где C2 = -66.5/27.

Это решение удовлетворяет начальным условиям. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!