Чтобы найти производную функции f(x) = x^3 + 3x / (2x - 1),мы будем использовать правила дифференцирования, включая правило производной частного.

Шаг 1: Определим функцию

Наша функция состоит из двух частей: числителя и знаменателя. Мы можем записать f(x) как:

f(x) = g(x) / h(x),где:

• g(x) = x^3 + 3x
• h(x) = 2x - 1

Шаг 2: Найдем производные g(x) и h(x)

Теперь мы найдем производные g(x) и h(x) отдельно:

• g'(x) = (x^3)' + (3x)' = 3x^2 + 3
• h'(x) = (2x)' - (1)' = 2

Шаг 3: Применим правило производного частного

Правило производного частного гласит, что если f(x) = g(x) / h(x),то:

f'(x) = (g'(x) * h(x) - g(x) * h'(x)) / (h(x))^2

Шаг 4: Подставим найденные производные в формулу

Теперь подставим g(x),g'(x),h(x) и h'(x) в формулу:

f'(x) = ( (3x^2 + 3)(2x - 1) - (x^3 + 3x)(2) ) / (2x - 1)^2

Шаг 5: Упростим выражение

Теперь мы упростим числитель:

• Числитель: (3x^2 + 3)(2x - 1) - (x^3 + 3x)(2)
• Раскроем скобки:
• (3x^2 * 2x - 3x^2 + 6x - 3) - (2x^3 + 6x)
• Теперь соберем все подобные члены:
• 6x^3 - 2x^3 + 3x^2 - 3 = 4x^3 + 3x^2 - 3

Шаг 6: Запишем окончательную производную

Таким образом, производная функции f(x) будет:

f'(x) = (4x^3 + 3x^2 - 3) / (2x - 1)^2

Это и есть производная заданной функции. Если у вас есть вопросы по каждому из шагов, пожалуйста, задавайте!