Как вычислить вторую производную функции y=5/(3x-5)^2?

Математика Колледж Производные функций вторая производная функция вычислить y=5/(3x-5)^2 математика Новый

Чтобы вычислить вторую производную функции y = 5/(3x - 5)^2, нам нужно сначала найти первую производную, а затем проделать то же самое с первой производной, чтобы получить вторую. Давайте начнем с первой производной.

Шаг 1: Найдем первую производную.

Функция y = 5/(3x - 5)^2 может быть переписана как y = 5 * (3x - 5)^(-2). Теперь применим правило производной для произведения и цепное правило.

• Сначала определим производную от (3x - 5)^(-2):
  • Используем правило производной: d/dx [u^n] = n * u^(n-1) * du/dx, где u = (3x - 5) и n = -2.
  • Находим du/dx: du/dx = 3.
  • Теперь подставим в формулу: d/dx [(3x - 5)^(-2)] = -2 * (3x - 5)^(-3) * 3 = -6/(3x - 5)^3.
• Теперь применим это к нашей функции:
  • y' = 5 * (-6/(3x - 5)^3) = -30/(3x - 5)^3.

Шаг 2: Найдем вторую производную.

Теперь, когда у нас есть первая производная y' = -30/(3x - 5)^3, мы можем найти вторую производную, используя аналогичные шаги.

• Сначала перепишем первую производную как y' = -30 * (3x - 5)^(-3).
• Теперь найдем производную от (3x - 5)^(-3):
  • Снова применим правило производной: d/dx [u^n] = n * u^(n-1) * du/dx, где u = (3x - 5) и n = -3.
  • Находим du/dx: du/dx = 3.
  • Теперь подставим в формулу: d/dx [(3x - 5)^(-3)] = -3 * (3x - 5)^(-4) * 3 = -9/(3x - 5)^4.
• Теперь применим это к первой производной:
  • y'' = -30 * (-9/(3x - 5)^4) = 270/(3x - 5)^4.

Ответ: Вторая производная функции y = 5/(3x - 5)^2 равна y'' = 270/(3x - 5)^4.