Как найти решение дифференциального уравнения y’ - y*tg(x) = 2x/cos(x) при заданном начальном условии y(0) = 4?

Математика Колледж Дифференциальные уравнения решение дифференциального уравнения Дифференциальное уравнение начальное условие математика y’ - y*tg(x) = 2x/cos(x) y(0) = 4 Новый

Для решения дифференциального уравнения первого порядка y' - y*tg(x) = 2x/cos(x) с начальным условием y(0) = 4, мы будем использовать метод интегрирующего множителя. Давайте разберем решение шаг за шагом.

Шаг 1: Приведение уравнения к стандартному виду

Уравнение можно записать в следующем виде:

y' + P(x)*y = Q(x),

где P(x) = -tg(x) и Q(x) = 2x/cos(x).

Шаг 2: Нахождение интегрирующего множителя

Интегрирующий множитель μ(x) вычисляется по формуле:

μ(x) = e^(∫P(x)dx).

В нашем случае:

• P(x) = -tg(x) = -sin(x)/cos(x).
• ∫P(x)dx = ∫(-tg(x))dx = -ln|cos(x)| = ln|sec(x)|.
• Тогда μ(x) = e^(ln|sec(x)|) = sec(x).

Шаг 3: Умножение на интегрирующий множитель

Теперь умножим все уравнение на μ(x):

sec(x) * y' - sec(x) * y * tg(x) = sec(x) * (2x/cos(x)).

Упрощая, получаем:

sec(x) * y' - y * sec(x) * tg(x) = 2x * sec^2(x).

Шаг 4: Приведение левой части к производной

Левая часть уравнения может быть записана как производная:

(sec(x) * y)' = 2x * sec^2(x).

Шаг 5: Интегрирование обеих сторон

Теперь интегрируем обе стороны:

∫(sec(x) * y)' dx = ∫(2x * sec^2(x)) dx.

Левая часть интегрируется просто:

sec(x) * y = ∫(2x * sec^2(x)) dx.

Правую часть можно интегрировать по частям. Обозначим:

• u = 2x, dv = sec^2(x) dx.
• Тогда du = 2 dx, v = tan(x).

Используя формулу интегрирования по частям:

∫u dv = uv - ∫v du, получаем:

∫(2x * sec^2(x)) dx = 2x * tan(x) - ∫(2 * tan(x)) dx.

Интеграл ∫(2 * tan(x)) dx = -2 * ln|cos(x)| + C.

Таким образом, получаем:

sec(x) * y = 2x * tan(x) + 2 * ln|cos(x)| + C.

Шаг 6: Решение для y

Теперь выразим y:

y = cos(x) * (2x * tan(x) + 2 * ln|cos(x)| + C).

Шаг 7: Применение начального условия

Теперь подставим начальное условие y(0) = 4:

При x = 0, cos(0) = 1, tan(0) = 0, ln|cos(0)| = 0, и получаем:

4 = 1 * (2 * 0 * 0 + 2 * 0 + C) => C = 4.

Шаг 8: Итоговое решение

Подставляем C в уравнение для y:

y = cos(x) * (2x * tan(x) + 2 * ln|cos(x)| + 4).

Таким образом, решение данного дифференциального уравнения с начальным условием y(0) = 4:

y = cos(x) * (2x * tan(x) + 2 * ln|cos(x)| + 4).