Как найти решение уравнения ydx + ctgxdy = 0, если известно, что y(z) = -1?

Математика Колледж Дифференциальные уравнения решение уравнения ydx ctgxdy y(z) = -1 математика 12 класс Дифференциальные уравнения задачи по математике Новый

Для решения уравнения ydx + ctgxdy = 0, начнем с его упрощения и анализа. Мы можем переписать уравнение в более удобной форме:

1. Сначала разделим обе части уравнения на y, чтобы изолировать dx и dy:

dx + (ctgx/y) dy = 0

2. Теперь мы можем выразить dy через dx:

dy = - (y/ctgx) dx

Теперь давайте проанализируем, как это уравнение может быть решено. Мы можем использовать метод разделения переменных. Однако, в данном случае, проще будет рассмотреть интегрирование.

Мы знаем, что ctg(x) = cos(x)/sin(x), и поэтому можем записать уравнение в виде:

ydx + (cos(x)/sin(x)) dy = 0

Теперь мы можем интегрировать обе части уравнения. Однако, чтобы сделать это более эффективно, давайте выразим dy и dx в более простом виде:

1. Сначала перепишем уравнение:

ydx = -ctg(x)dy

2. Теперь разделим на y и dy:

dx/y = -ctg(x)dy

Теперь мы можем интегрировать обе стороны:

1. Интегрируем левую часть:

∫(1/y) dy = ln|y| + C1

2. Интегрируем правую часть:

∫(-ctg(x)) dx = -ln|sin(x)| + C2

Теперь у нас есть два интеграла, которые можно объединить:

ln|y| = -ln|sin(x)| + C

Теперь, чтобы найти решение для y, мы можем выразить y:

|y| = e^(-ln|sin(x)| + C) = e^C * (1/sin(x))

Таким образом, мы получаем:

y = K/sin(x), где K = e^C.

Теперь, зная, что y(z) = -1, мы можем подставить это значение в уравнение:

-1 = K/sin(z).

Следовательно, K = -sin(z).

Таким образом, окончательное решение уравнения будет:

y(x) = -sin(z)/sin(x).

Это решение уравнения ydx + ctgxdy = 0 с начальным условием y(z) = -1.